¿Qué es la calculadora de percentiles de la normal estándar?
Esta herramienta calcula el punto porcentual (también llamado percentil, cuantil o valor z de la CDF inversa) de la distribución normal estándar N(0,1). A partir de una probabilidad acumulada, devuelve el valor z del eje horizontal de la campana de Gauss que deja por debajo esa área. Es la inversa de la función de distribución acumulada (CDF), que suele escribirse como \(z = \Phi^{-1}(p)\).
Cómo usarla
Elige cómo debe interpretarse tu probabilidad: P acumulada inferior (el área a la izquierda de z), Q acumulada superior (el área a la derecha) o Central bilateral interior (el área central simétrica entre \(-z\) y \(+z\)). Después introduce una probabilidad estrictamente comprendida entre 0 y 1. La calculadora convierte tu valor en una única probabilidad de cola izquierda y devuelve la z correspondiente.
La fórmula
La densidad de la normal estándar es $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-x^2/2}$$ y su CDF es \(\Phi(x)\). La invertimos: para el modo inferior, \(p_\text{inferior} = p\); para el modo superior, \(p_\text{inferior} = 1 - p\); y para el modo interior, \(p_\text{inferior} = (1 + p)/2\) con \(z \ge 0\). Entonces $$z = \Phi^{-1}(p_\text{inferior})$$ se evalúa mediante la aproximación racional de alta precisión de Acklam (con un error relativo en torno a \(1\mathrm{e}{-9}\)).
Ejemplo resuelto
El modo inferior con \(p = 0{,}975\) da $$z = \Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}959964,$$ el conocido 1,96 que se usa en los intervalos de confianza del 95 %. El modo interior con \(p = 0{,}95\) también arroja 1,96, de modo que el intervalo central del 95 % es \([-1{,}96, +1{,}96]\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué p debe estar entre 0 y 1? En \(p = 0\) o \(p = 1\) el valor de z sería \(-\infty\) o \(+\infty\), por lo que esos valores no se admiten.
¿Cómo se relacionan los modos superior e inferior? La z del modo superior es la negativa de la z del modo inferior para la misma probabilidad: \(\Phi^{-1}(1-p) = -\Phi^{-1}(p)\).
¿Es exacta? No existe una fórmula cerrada, pero la aproximación de Acklam tiene una precisión de unas nueve cifras significativas, muy por encima de lo que se necesita para mostrar el resultado.
