Калькулятор перцентилей стандартного нормального распределения

Введите расчет

Режим кумулятивной вероятности Lower cumulative P (P = area to the left = Φ(z)) Upper cumulative Q (Q = area to the right = 1 − Φ(z)) Inner central two-sided (area between −z and +z)

Probability (0 < p < 1)

Результатов

Процентная точка (значение z)

0

стандартных отклонений от среднего

Эквивалентная вероятность левого хвоста	0,5 = Φ(z)
Обратная функция	z = Φ⁻¹(p)

Что делает калькулятор перцентилей стандартного нормального распределения?

Этот инструмент вычисляет процентную точку (её также называют перцентилем, квантилем или z-значением обратной CDF) стандартного нормального распределения N(0,1). По заданной кумулятивной вероятности он возвращает значение z на горизонтальной оси колоколообразной кривой, которое отсекает соответствующую площадь. По сути это обратная функция к интегральной функции распределения (CDF), которую обычно записывают как \(z = \Phi^{-1}(p)\).

Процентиль z отмечает точку, в которой накопленная площадь левого хвоста равна вероятности p.

Как пользоваться калькулятором

Сначала выберите, как именно трактуется ваша вероятность: Нижняя кумулятивная P (площадь слева от z), Верхняя кумулятивная Q (площадь справа) или Центральная двусторонняя (симметричная центральная площадь между \(-z\) и \(+z\)). Затем введите вероятность строго в интервале от 0 до 1. Калькулятор приведёт ваше значение к единой вероятности левого хвоста и вернёт соответствующее z.

Формула

Плотность стандартного нормального распределения равна $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-x^2/2},$$ а интегральная функция распределения обозначается \(\Phi(x)\). Мы обращаем её: для нижнего режима \(p_{\text{lower}} = p\); для верхнего режима \(p_{\text{lower}} = 1 - p\); для центрального режима \(p_{\text{lower}} = (1 + p)/2\) при \(z \ge 0\). Затем $$z = \Phi^{-1}(p_{\text{lower}})$$ вычисляется с помощью высокоточного рационального приближения Акклама (Acklam) с относительной погрешностью около \(1\mathrm{e}{-9}\).

Реклама

Та же z связана с входными вероятностями нижнего хвоста, верхнего хвоста или центральной двусторонней области.

Разбор примера

В нижнем режиме при \(p = 0{,}975\) получаем $$z = \Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}959964$$ — то самое знакомое 1,96, которое используют для 95%-х доверительных интервалов. В центральном режиме при \(p = 0{,}95\) также получается 1,96, поэтому 95%-й центральный интервал равен \([-1{,}96;\ +1{,}96]\).

Частые вопросы

Почему p должно лежать строго между 0 и 1? При \(p = 0\) или \(p = 1\) значение z равно \(-\infty\) или \(+\infty\), поэтому такие значения не принимаются.

Как связаны верхний и нижний режимы? Для одной и той же вероятности z в верхнем режиме равно z в нижнем режиме со знаком минус: \(\Phi^{-1}(1-p) = -\Phi^{-1}(p)\).

Это точный результат? Точной формулы в замкнутом виде не существует, но приближение Акклама даёт около девяти значащих цифр — намного больше, чем нужно для отображения.