Калькулятор процентной точки нормального распределения

Введите расчет

Режим вероятности Lower cumulative P — P(X ≤ x) Upper cumulative Q — P(X > x)

Cumulative probability (0 < p < 1)

Mean (μ)

Standard deviation (σ)

Результатов

Процентная точка x

1,644853

значение x при заданной кумулятивной вероятности

Стандартизованная процентная точка z	1,644853

Что делает этот калькулятор

Инструмент вычисляет процентную точку (её также называют квантилем или критическим значением) нормального распределения. Вы задаёте кумулятивную вероятность, а калькулятор возвращает такое значение x на оси распределения, при котором заданная доля вероятности лежит ниже (или выше) него. По сути это обратная функция нормального распределения (обратный CDF). При среднем 0 и стандартном отклонении 1 вы получите привычное z-значение стандартного нормального распределения. Это универсальная математика — она работает одинаково в любой стране.

Процентильная точка x — это значение, при котором закрашенная площадь нижнего хвоста равна накопленной вероятности p.

Как пользоваться

Выберите режим вероятности. Используйте нижнюю кумулятивную вероятность P, если ваша вероятность — это площадь левого хвоста P(X ≤ x), или верхнюю кумулятивную вероятность Q, если речь идёт о площади правого хвоста P(X > x). Введите вероятность строго в интервале от 0 до 1. Затем укажите среднее и стандартное отклонение распределения (для стандартного нормального возьмите 0 и 1). В результате вы увидите процентную точку x и соответствующее z-значение.

Разбор формулы

Пусть Φ — стандартная нормальная функция распределения (CDF). Сначала переведём входное значение в вероятность левого хвоста: \(p_{lower} = P\) в нижнем режиме либо \(p_{lower} = 1 - Q\) в верхнем. Затем применим обратную нормальную функцию (пробит): \(z = \Phi^{-1}(p_{lower})\). Наконец, выполним обратную стандартизацию:

$$x = \mu + \sigma \cdot z$$

Мы используем рациональное приближение Acklam, уточнённое одним шагом метода Ньютона, что даёт точность порядка 1e-9.

Реклама

Обратная нормальная функция распределения сопоставляет накопленную вероятность p с соответствующим значением x.

Пример расчёта

Верхний режим, Q = 0,025, μ = 100, σ = 15. Перевод: \(p_{lower} = 1 - 0{,}025 = 0{,}975\). Квантиль: \(z = \Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}959964\). Обратная стандартизация:

$$x = 100 + 15 \times 1{,}959964 \approx 129{,}40$$

То есть около 2,5% распределения лежит выше значения 129,4.

Частые вопросы

Почему z иногда равно x? Только в случае стандартного нормального распределения (μ = 0, σ = 1), где \(x = z\).

Что происходит при p = 0,5? В нижнем режиме квантиль в точности равен среднему, поскольку \(z = 0\).

Можно ли ввести 0 или 1? Нет. Квантиль стремится к −∞ при 0 и к +∞ при 1, поэтому вероятность должна быть строго между 0 и 1, а σ — больше нуля.