यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी सामान्य वितरण (नॉर्मल डिस्ट्रिब्यूशन) का पर्सेंटाइल पॉइंट निकालता है, जिसे क्वांटाइल या क्रिटिकल वैल्यू भी कहते हैं। आप इसे एक संचयी प्रायिकता देते हैं और यह वितरण के अक्ष पर वह मान x लौटाता है जिसके नीचे (या ऊपर) माँगी गई प्रायिकता मौजूद हो। यह दरअसल सामान्य संचयी वितरण फलन (CDF) का व्युत्क्रम (inverse) है। जब माध्य 0 और मानक विचलन 1 हो, तो यह परिचित स्टैंडर्ड-नॉर्मल z-मान देता है। यह विशुद्ध गणित है और दुनिया भर में एक जैसा ही लागू होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले एक संचयी मोड चुनें। जब आपकी प्रायिकता बायीं-पुच्छ का क्षेत्रफल \(P(X \le x)\) हो, तो निचली संचयी P चुनें; और जब वह दायीं-पुच्छ का क्षेत्रफल \(P(X > x)\) हो, तो ऊपरी संचयी Q चुनें। प्रायिकता को 0 और 1 के बीच (दोनों को छोड़कर) दर्ज करें। फिर वितरण का माध्य और मानक विचलन भरें (स्टैंडर्ड नॉर्मल के लिए 0 और 1 रखें)। परिणाम में पर्सेंटाइल पॉइंट x और उसका मानकीकृत z-स्कोर दिखेगा।
सूत्र की व्याख्या
मान लें \(\Phi\) स्टैंडर्ड नॉर्मल CDF है। सबसे पहले अपने इनपुट को निचली-पुच्छ प्रायिकता में बदलें: निचले मोड के लिए \(p_{lower} = P\), या ऊपरी मोड के लिए \(p_{lower} = 1 - Q\)। फिर इन्वर्स नॉर्मल CDF (प्रोबिट) लें: \(z = \Phi^{-1}(p_{lower})\)। अंत में मानकीकरण हटाएँ:
$$x = \mu + \sigma \cdot z$$लगभग 1e-9 तक की सटीकता के लिए हम Acklam के रैशनल सन्निकटन का उपयोग करते हैं, जिसे एक न्यूटन स्टेप से और परिष्कृत किया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
ऊपरी मोड, \(Q = 0.025\), \(\mu = 100\), \(\sigma = 15\)। रूपांतरण: \(p_{lower} = 1 - 0.025 = 0.975\)। क्वांटाइल: \(z = \Phi^{-1}(0.975) \approx 1.959964\)। मानकीकरण हटाएँ:
$$x = 100 + 15 \times 1.959964 \approx 129.40$$यानी वितरण का लगभग 2.5% हिस्सा 129.4 से ऊपर है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
z और x कभी-कभी बराबर क्यों होते हैं? केवल स्टैंडर्ड-नॉर्मल स्थिति में (\(\mu = 0\), \(\sigma = 1\)), जहाँ \(x = z\) होता है।
\(p = 0.5\) पर क्या होता है? निचले मोड में क्वांटाइल ठीक माध्य के बराबर होता है, क्योंकि तब \(z = 0\) होता है।
क्या मैं 0 या 1 दर्ज कर सकता हूँ? नहीं। 0 पर क्वांटाइल \(-\infty\) की ओर और 1 पर \(+\infty\) की ओर अपसरित हो जाता है, इसलिए प्रायिकता का मान 0 और 1 के बीच (दोनों को छोड़कर) होना चाहिए, और \(\sigma\) का मान 0 से बड़ा होना चाहिए।
