ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة النقطة المئينية (وتُسمى أيضًا الكَمّ أو القيمة الحرجة) لتوزيع طبيعي. تُدخل احتمالًا تراكميًا فتعيد لك القيمة \(x\) على محور التوزيع بحيث يقع تحتها (أو فوقها) المقدار المطلوب من الاحتمال. إنها معكوس الدالة التراكمية للتوزيع الطبيعي (CDF). وعند متوسط يساوي 0 وانحراف معياري يساوي 1، تعيد قيمة \(z\) المعيارية المألوفة للتوزيع الطبيعي القياسي. هذه رياضيات بحتة وعامة تنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان.
طريقة الاستخدام
اختر نمط التراكم. اختر التراكم الأدنى P عندما يكون احتمالك مساحة الذيل الأيسر \(P(X \le x)\)، أو التراكم الأعلى Q عندما يكون مساحة الذيل الأيمن \(P(X > x)\). أدخل الاحتمال بحيث يقع تمامًا بين 0 و1. ثم أدخل متوسط التوزيع وانحرافه المعياري (استخدم 0 و1 للتوزيع الطبيعي القياسي). تُظهر النتيجة النقطة المئينية \(x\) ودرجتها المعيارية \(z\).
شرح المعادلة
لتكن \(\Phi\) هي الدالة التراكمية للتوزيع الطبيعي القياسي. حوّل أولًا مدخلك إلى احتمال للذيل الأيسر: \(p_{\text{lower}} = P\) في النمط الأدنى، أو \(p_{\text{lower}} = 1 - Q\) في النمط الأعلى. ثم خذ معكوس الدالة التراكمية الطبيعية (الـ probit): \(z = \Phi^{-1}(p_{\text{lower}})\). وأخيرًا أزِل التقييس:
$$x = \mu + \sigma \cdot z$$
نستخدم تقريب أكلام النسبي (Acklam) المحسَّن بخطوة من نيوتن لدقة تبلغ نحو 1e-9.
مثال محلول
النمط الأعلى، \(Q = 0.025\)، \(\mu = 100\)، \(\sigma = 15\). التحويل: \(p_{\text{lower}} = 1 - 0.025 = 0.975\). الكَمّ: \(z = \Phi^{-1}(0.975) \approx 1.959964\). إزالة التقييس:
$$x = 100 + 15 \times 1.959964 \approx 129.40$$
أي أن نحو 2.5% من التوزيع يقع فوق القيمة 129.4.
الأسئلة الشائعة
لماذا تتساوى z مع x أحيانًا؟ يحدث ذلك فقط في حالة التوزيع الطبيعي القياسي (\(\mu = 0\)، \(\sigma = 1\))، حيث \(x = z\).
ماذا يحدث عند p = 0.5؟ في النمط الأدنى يكون الكَمّ مساويًا تمامًا للمتوسط، لأن \(z = 0\).
هل يمكنني إدخال 0 أو 1؟ لا. يتباعد الكَمّ نحو \(-\infty\) عند 0 ونحو \(+\infty\) عند 1، لذا يجب أن يقع الاحتمال تمامًا بين 0 و1، وأن يكون \(\sigma\) أكبر من 0.
