ما هو التسارع الزاوي؟
يقيس التسارع الزاوي (\(\alpha\)) مدى سرعة تغيّر السرعة الدورانية لجسم ما. وهو النظير الدوراني للتسارع الخطي: فبينما يصف التسارع الخطي تغيّر السرعة في خط مستقيم، يصف التسارع الزاوي تغيّر السرعة الزاوية (\(\omega\)). ويُعبَّر عنه بوحدة الراديان لكل ثانية مربعة (راديان/ث²)، وهو كمية محورية في ديناميكا الدوران، بدءًا من العجلات والمحركات الدوارة وصولًا إلى التروس وحركة الكواكب.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل ثلاث قيم: السرعة الزاوية الابتدائية (\(\omega_i\))، والسرعة الزاوية النهائية (\(\omega_f\))، والزمن (\(t\)) الذي يحدث خلاله التغيّر. يجب أن تكون جميع السرعات الزاوية بوحدة الراديان في الثانية، والزمن بالثواني. تُظهر الحاسبة متوسط التسارع الزاوي إلى جانب إجمالي التغيّر في السرعة الزاوية. وتعني النتيجة السالبة أن الجسم يتباطأ (تتناقص سرعة دورانه).
شرح المعادلة
المعادلة هي $$\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t}$$ اطرح السرعة الزاوية الابتدائية من السرعة الزاوية النهائية للحصول على مقدار التغيّر (\(\Delta\omega\))، ثم اقسم الناتج على الزمن المنقضي. يمنحك ذلك المعدل المتوسط الذي يتسارع أو يتباطأ به الدوران. وإذا كانت السرعة الزاوية لديك بوحدة الدورة في الدقيقة (RPM)، فحوّلها أولًا إلى راديان/ث بضربها في \(2\pi/60\).
مثال محلول
تتسارع دولاب موازنة (حذّافة) من 0 راديان/ث إلى 20 راديان/ث خلال 4 ثوانٍ. مقدار التغيّر هو \(\Delta\omega = 20 - 0 = 20\) راديان/ث. وبالقسمة على الزمن: $$\alpha = \frac{20}{4} = 5 \text{ راديان/ث}^2$$ أي أن الحذّافة تتسارع بمعدل 5 راديان لكل ثانية مربعة.
المصطلحات والمتغيرات الأساسية
- التسارع الزاوي (\(\alpha\)، rad/s²) — معدل التغيير في السرعة الزاوية مع الزمن. القيمة الموجبة تعني أن الدوران يتسارع؛ القيمة السالبة تعني أنه يتباطأ (تباطؤ).
- السرعة الزاوية الابتدائية (\(\omega_i\)، rad/s) — السرعة الدورانية في بداية الفترة الزمنية.
- السرعة الزاوية النهائية (\(\omega_f\)، rad/s) — السرعة الدورانية في نهاية الفترة الزمنية.
- التغيير في السرعة الزاوية (\(\Delta\omega\)، rad/s) — الفرق \(\Delta\omega = \omega_f - \omega_i\)؛ البسط في صيغة التسارع الزاوي.
- الزمن (\(t\)، s) — المدة التي يحدث خلالها التغيير في السرعة الزاوية.
- الراديان — وحدة الزاوية في النظام الدولي. دورة واحدة كاملة تساوي \(2\pi\) راديان (≈6.2832 rad)، لذلك الراديان بلا أبعاد والتسارع الزاوي له وحدات 1/s² مكتوبة كـ rad/s².
العلاقة الأساسية هي \(\alpha = \dfrac{\omega_f - \omega_i}{t}\)، صحيحة للتسارع الزاوي الثابت (المتوسط) خلال الفترة الزمنية.
أمثلة عملية إضافية
المثال 1 — عجلة متباطئة
عجلة طيران تبطئ من \(\omega_i = 30\) rad/s إلى \(\omega_f = 10\) rad/s على مدار \(t = 5\) s. بالتعويض في الصيغة:
$$\alpha = \frac{10 - 30}{5} = \frac{-20}{5} = -4\ \text{rad/s}^2$$النتيجة هي -4 rad/s². تؤكد الإشارة السالبة أن العجلة تتباطأ.
المثال 2 — البدء من قيمة دورة في الدقيقة
محرك يدور بسرعة 120 RPM يتم إيقافه تماماً في 8 s. أولاً حول السرعة الابتدائية إلى rad/s:
$$\omega_i = 120\times\frac{2\pi}{60} = 120\times0.10472 = 12.566\ \text{rad/s}$$مع \(\omega_f = 0\) و \(t = 8\) s:
$$\alpha = \frac{0 - 12.566}{8} = \frac{-12.566}{8} = -1.5708\ \text{rad/s}^2$$إذن التسارع الزاوي هو -1.5708 rad/s². حول دائماً RPM (أو deg/s) إلى rad/s قبل تطبيق الصيغة حتى تكون النتيجة بالوحدات الصحيحة للنظام الدولي.
الأسئلة الشائعة
ما الوحدات المستخدمة هنا؟ السرعات الزاوية تُقاس بالراديان في الثانية (راديان/ث)، والزمن بالثواني (ث)، فيكون التسارع بوحدة راديان/ث².
هل يمكن أن تكون النتيجة سالبة؟ نعم. التسارع الزاوي السالب يدل على أن الجسم يبطئ من دورانه (تباطؤ زاوي).
كيف أحوّل الدورة في الدقيقة (RPM) إلى راديان/ث؟ اضرب قيمة RPM في \(2\pi/60 \approx 0.10472\). على سبيل المثال، \(60\) دورة في الدقيقة \(= 6.283\) راديان/ث.
