कोणीय त्वरण क्या है?
कोणीय त्वरण (α) यह बताता है कि किसी वस्तु की घूर्णन गति कितनी तेज़ी से बदल रही है। यह रेखीय त्वरण का घूर्णन रूप है: जैसे रेखीय त्वरण सीधी रेखा में वेग के बदलाव को दर्शाता है, वैसे ही कोणीय त्वरण कोणीय वेग (ω) के बदलाव को दर्शाता है। इसे रेडियन प्रति सेकंड वर्ग (rad/s²) में मापा जाता है और यह घूर्णन गतिकी की एक अहम राशि है — घूमते पहियों और मोटरों से लेकर गियर और ग्रहों की गति तक।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
तीन मान भरें: प्रारंभिक कोणीय वेग (\(\omega_i\)), अंतिम कोणीय वेग (\(\omega_f\)), और वह समय (\(t\)) जिसमें यह बदलाव होता है। सभी कोणीय वेग रेडियन प्रति सेकंड में और समय सेकंड में होना चाहिए। कैलकुलेटर औसत कोणीय त्वरण के साथ-साथ कोणीय वेग में कुल बदलाव भी बताता है। यदि परिणाम ऋणात्मक आता है, तो इसका मतलब है कि वस्तु की घूर्णन गति घट रही है (मंदन हो रहा है)।
सूत्र की व्याख्या
समीकरण है $$\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t}$$ अंतिम कोणीय वेग में से प्रारंभिक कोणीय वेग घटाकर बदलाव (\(\Delta\omega\)) निकालें, फिर इसे बीते हुए समय से भाग दें। इससे वह औसत दर मिलती है जिस पर घूर्णन तेज़ या धीमा होता है। यदि आपके पास कोणीय वेग चक्कर प्रति मिनट (RPM) में है, तो उसे पहले \(2\pi/60\) से गुणा करके rad/s में बदल लें।
हल किया गया उदाहरण
एक फ्लाईव्हील 4 सेकंड में 0 rad/s से 20 rad/s तक गति पकड़ता है। बदलाव है \(\Delta\omega = 20 - 0 = 20\) rad/s। समय से भाग देने पर: $$\alpha = \frac{20}{4} = 5 \text{ rad/s}^2$$ यानी फ्लाईव्हील 5 रेडियन प्रति सेकंड वर्ग की दर से त्वरित हो रहा है।
मुख्य शर्तें और चर
- कोणीय त्वरण (\(\alpha\), rad/s²) — समय के साथ कोणीय वेग परिवर्तन की दर। एक सकारात्मक मान का मतलब है कि घूर्णन तेज़ हो रहा है; एक नकारात्मक मान का मतलब है कि यह धीमा हो रहा है (मंदन)।
- प्रारंभिक कोणीय वेग (\(\omega_i\), rad/s) — समय अंतराल की शुरुआत में घूर्णन गति।
- अंतिम कोणीय वेग (\(\omega_f\), rad/s) — समय अंतराल के अंत में घूर्णन गति।
- कोणीय वेग में परिवर्तन (\(\Delta\omega\), rad/s) — अंतर \(\Delta\omega = \omega_f - \omega_i\); कोणीय त्वरण सूत्र का अंश।
- समय (\(t\), s) — अवधि जिसमें कोणीय वेग में परिवर्तन होता है।
- रेडियन — कोण की SI इकाई। एक पूर्ण क्रांति \(2\pi\) रेडियन (≈6.2832 rad) के बराबर है, इसलिए रेडियन विमाहीन है और कोणीय त्वरण की इकाइयाँ 1/s² हैं जिन्हें rad/s² के रूप में लिखा जाता है।
परिभाषित संबंध \(\alpha = \dfrac{\omega_f - \omega_i}{t}\) है, जो अंतराल पर स्थिर (औसत) कोणीय त्वरण के लिए मान्य है।
अधिक हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1 — एक मंदित पहिया
एक फ्लाईव्हील \(\omega_i = 30\) rad/s से \(\omega_f = 10\) rad/s तक \(t = 5\) s में धीमा हो जाता है। सूत्र में प्रतिस्थापन:
$$\alpha = \frac{10 - 30}{5} = \frac{-20}{5} = -4\ \text{rad/s}^2$$परिणाम -4 rad/s² है। नकारात्मक चिन्ह इस बात की पुष्टि करता है कि पहिया मंद हो रहा है।
उदाहरण 2 — एक RPM मान से शुरुआत
एक मोटर 120 RPM पर घूम रहा है और 8 s में पूरी तरह बंद हो जाता है। पहले प्रारंभिक गति को rad/s में परिवर्तित करें:
$$\omega_i = 120\times\frac{2\pi}{60} = 120\times0.10472 = 12.566\ \text{rad/s}$$\(\omega_f = 0\) और \(t = 8\) s के साथ:
$$\alpha = \frac{0 - 12.566}{8} = \frac{-12.566}{8} = -1.5708\ \text{rad/s}^2$$तो कोणीय त्वरण -1.5708 rad/s² है। सूत्र लागू करने से पहले हमेशा RPM (या deg/s) को rad/s में परिवर्तित करें ताकि परिणाम उचित SI इकाइयों में हो।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
इसमें कौन-सी इकाइयाँ इस्तेमाल होती हैं? कोणीय वेग रेडियन प्रति सेकंड (rad/s) में और समय सेकंड (s) में होता है, जिससे त्वरण rad/s² में मिलता है।
क्या परिणाम ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक कोणीय त्वरण यह दर्शाता है कि वस्तु की घूर्णन गति घट रही है (कोणीय मंदन)।
RPM को rad/s में कैसे बदलें? RPM को \(2\pi/60 \approx 0.10472\) से गुणा करें। उदाहरण के लिए, \(60 \text{ RPM} = 6.283 \text{ rad/s}\)।
