Ce que fait ce calculateur
Cet outil calcule le point centile (aussi appelé quantile ou valeur critique) d'une loi normale. Vous lui fournissez une probabilité cumulée et il vous renvoie la valeur x sur l'axe de la distribution telle que la proportion de probabilité demandée se situe en dessous (ou au-dessus). C'est l'inverse de la fonction de répartition (FdR) de la loi normale. Avec une moyenne de 0 et un écart-type de 1, il renvoie la fameuse valeur z de la loi normale centrée réduite. Il s'agit de mathématiques pures et universelles, qui s'appliquent partout de la même façon.
Mode d'emploi
Choisissez d'abord un mode cumulé. Sélectionnez P cumulée à gauche lorsque votre probabilité correspond à l'aire de la queue gauche \(P(X \le x)\), ou Q cumulée à droite lorsqu'il s'agit de l'aire de la queue droite \(P(X > x)\). Saisissez une probabilité strictement comprise entre 0 et 1. Indiquez ensuite la moyenne et l'écart-type de la distribution (utilisez 0 et 1 pour la loi normale centrée réduite). Le résultat affiche le point centile \(x\) ainsi que son score \(z\) standardisé.
La formule expliquée
Soit Φ la FdR de la loi normale centrée réduite. Convertissez d'abord votre saisie en probabilité de queue gauche : \(p_{\text{gauche}} = P\) en mode gauche, ou \(p_{\text{gauche}} = 1 - Q\) en mode droite. Appliquez ensuite la FdR inverse de la loi normale (fonction probit) : \(z = \Phi^{-1}\!\left(p_{\text{gauche}}\right)\). Enfin, dé-standardisez :
$$x = \mu + \sigma \cdot z$$Nous utilisons l'approximation rationnelle d'Acklam, affinée par une itération de Newton, pour une précision d'environ 1e-9.
Exemple concret
Mode droite, \(Q = 0{,}025\), \(\mu = 100\), \(\sigma = 15\). Conversion : \(p_{\text{gauche}} = 1 - 0{,}025 = 0{,}975\). Quantile : \(z = \Phi^{-1}\!\left(0{,}975\right) \approx 1{,}959964\). Dé-standardisation :
$$x = 100 + 15 \times 1{,}959964 \approx 129{,}40$$Ainsi, environ 2,5 % de la distribution se situe au-dessus de 129,4.
FAQ
Pourquoi z est-il parfois égal à x ? Uniquement dans le cas de la loi normale centrée réduite (\(\mu = 0\), \(\sigma = 1\)), où l'on a \(x = z\).
Que se passe-t-il à p = 0,5 ? En mode gauche, le quantile est exactement la moyenne, puisque \(z = 0\).
Puis-je saisir 0 ou 1 ? Non. Le quantile tend vers \(-\infty\) en 0 et vers \(+\infty\) en 1 ; la probabilité doit donc être strictement comprise entre 0 et 1, et \(\sigma\) doit être strictement supérieur à 0.
