À quoi sert ce calculateur
Le calculateur de loi normale évalue une variable suivant une loi normale en un point x donné, à partir d'une moyenne (mu) et d'un écart-type (sigma). Il fournit trois grandeurs essentielles : la densité de probabilité \(f(x)\), la probabilité cumulée inférieure \(P(X \le x)\) et la probabilité cumulée supérieure \(P(X > x)\). C'est un outil de mathématiques et de statistiques universel, sans hypothèse propre à un pays. Avec les valeurs par défaut \(\mu = 0\) et \(\sigma = 1\), il travaille sur la loi normale centrée réduite.
Comment l'utiliser
Saisissez la valeur x à laquelle vous souhaitez évaluer la loi, la moyenne mu et l'écart-type sigma (qui doit être strictement supérieur à 0). Le calculateur commence par centrer et réduire la valeur grâce à $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ puis il calcule la densité ainsi que les deux queues cumulées. La probabilité cumulée inférieure correspond à l'aire sous la courbe à gauche de x ; la probabilité cumulée supérieure correspond à l'aire à droite, et la somme des deux vaut toujours 1.
La formule expliquée
La densité de probabilité s'écrit $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}}$$ La probabilité cumulée inférieure est donnée par la fonction de répartition $$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ où erf désigne la fonction d'erreur de Gauss. Comme la bibliothèque mathématique standard ne propose pas de fonction erf intégrée, cet outil s'appuie sur l'approximation rationnelle 7.1.26 d'Abramowitz et Stegun, précise à environ 1e-7. La probabilité cumulée supérieure vaut tout simplement \(1 - \Phi(z)\).
Exemple concret
Prenons une distribution de type QI avec \(\mu = 100\), \(\sigma = 15\), et évaluons-la en \(x = 130\). On obtient d'abord $$z = \frac{130 - 100}{15} = 2$$ La densité est $$f(130) = \frac{0{,}3989422804}{15} \times e^{-2} = 0{,}003599750$$ La probabilité cumulée inférieure \(\Phi(2) = 0{,}9772498681\), donc la probabilité cumulée supérieure vaut \(0{,}0227501319\) — autrement dit, environ 2,28 % des valeurs dépassent 130.
FAQ
Qu'est-ce que z ? z est le score centré réduit, c'est-à-dire le nombre d'écarts-types dont x se situe au-dessus de la moyenne (valeur positive) ou en dessous (valeur négative).
Pourquoi sigma doit-il être positif ? Un écart-type nul ou négatif rend la loi indéfinie et provoque une division par zéro : sigma doit donc être strictement supérieur à 0.
La densité f(x) et les probabilités font-elles 1 au total ? Ce sont les deux probabilités cumulées \(P(X \le x)\) et \(P(X > x)\) qui s'additionnent pour donner 1. La densité \(f(x)\) n'est pas une probabilité et n'entre pas dans cette somme : elle représente la hauteur de la courbe au point x.
