Công cụ này làm gì
Máy tính phân phối chuẩn đánh giá một biến phân phối chuẩn tại điểm x mà bạn chọn, dựa trên giá trị trung bình (mu) và độ lệch chuẩn (sigma). Công cụ trả về ba đại lượng cốt lõi: mật độ xác suất \(f(x)\), xác suất tích lũy dưới \(P(X \le x)\) và xác suất tích lũy trên \(P(X > x)\). Đây là công cụ toán học và thống kê dùng chung trên toàn cầu, không gắn với quy ước riêng của quốc gia nào. Với giá trị mặc định \(\mu = 0\) và \(\sigma = 1\), công cụ làm việc trên phân phối chuẩn tắc (standard normal).
Cách sử dụng
Nhập giá trị x mà bạn muốn đánh giá phân phối, giá trị trung bình mu và độ lệch chuẩn sigma (phải lớn hơn 0). Trước tiên, máy tính chuẩn hóa giá trị theo công thức $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ sau đó tính mật độ và cả hai đuôi tích lũy. Xác suất tích lũy dưới là phần diện tích dưới đường cong nằm bên trái x; xác suất tích lũy trên là phần diện tích bên phải, và tổng của hai giá trị này luôn bằng 1.
Giải thích công thức
Mật độ xác suất được tính bằng $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}}$$ Xác suất tích lũy dưới chính là hàm phân phối tích lũy $$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ trong đó \(\operatorname{erf}\) là hàm sai số Gauss. Vì thư viện toán tiêu chuẩn không có sẵn hàm erf, công cụ sử dụng phép xấp xỉ hữu tỉ Abramowitz & Stegun 7.1.26, đạt độ chính xác khoảng 1e-7. Xác suất tích lũy trên đơn giản là \(1 - \Phi(z)\).
Ví dụ minh họa
Hãy xét một phân phối kiểu IQ với \(\mu = 100\), \(\sigma = 15\) và đánh giá tại \(x = 130\). Đầu tiên $$z = \frac{130 - 100}{15} = 2$$ Mật độ là $$f(130) = \frac{0.3989422804}{15} \cdot e^{-2} = 0.003599750$$ Xác suất tích lũy dưới \(\Phi(2) = 0.9772498681\), nên xác suất tích lũy trên là \(0.0227501319\) — nghĩa là khoảng 2,28% giá trị vượt quá 130.
Câu hỏi thường gặp
z là gì? z là điểm chuẩn hóa, cho biết x nằm cách giá trị trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn về phía trên (dương) hoặc phía dưới (âm).
Vì sao sigma phải dương? Độ lệch chuẩn bằng 0 hoặc nhỏ hơn 0 khiến phân phối không xác định và gây ra phép chia cho 0, vì vậy sigma bắt buộc phải lớn hơn 0.
f(x) và các xác suất có cộng lại bằng 1 không? Hai xác suất tích lũy \(P(X \le x)\) và \(P(X > x)\) cộng lại bằng 1. Mật độ \(f(x)\) không phải là một xác suất và không nằm trong tổng đó; nó là độ cao của đường cong tại x.
