यह कैलकुलेटर क्या करता है
सामान्य वितरण कैलकुलेटर किसी दिए गए माध्य (mu) और मानक विचलन (sigma) वाले सामान्य रूप से वितरित चर का किसी चुने हुए बिंदु x पर मूल्यांकन करता है। यह तीन मुख्य मान देता है: प्रायिकता घनत्व \(f(x)\), निचली संचयी प्रायिकता \(P(X \le x)\), और ऊपरी संचयी प्रायिकता \(P(X > x)\)। यह एक सार्वभौमिक गणित और सांख्यिकी उपकरण है जिसमें किसी देश-विशेष की कोई धारणा नहीं है। डिफ़ॉल्ट मान \(mu = 0\) और \(sigma = 1\) के साथ यह मानक सामान्य वितरण (standard normal distribution) पर काम करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
वह मान x दर्ज करें जिस पर आप वितरण का मूल्यांकन करना चाहते हैं, साथ ही माध्य mu और मानक विचलन sigma (जो 0 से बड़ा होना ज़रूरी है)। कैलकुलेटर पहले मान को $$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$ से मानकीकृत करता है, फिर घनत्व और दोनों संचयी पुच्छ (tails) निकालता है। निचली संचयी प्रायिकता x के बाईं ओर वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है; ऊपरी संचयी प्रायिकता दाईं ओर का क्षेत्रफल है, और ये दोनों मिलकर हमेशा 1 के बराबर होते हैं।
सूत्र की व्याख्या
प्रायिकता घनत्व $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\,\sigma^2}}$$ होता है। निचली संचयी प्रायिकता संचयी वितरण फलन (cumulative distribution function) \(\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]\) है, जहाँ erf गॉस त्रुटि फलन (Gauss error function) है। चूँकि मानक गणित लाइब्रेरी में erf अंतर्निहित नहीं होता, यह उपकरण Abramowitz और Stegun 7.1.26 परिमेय सन्निकटन (rational approximation) का उपयोग करता है, जो लगभग \(1\mathrm{e}{-7}\) तक सटीक है। ऊपरी संचयी प्रायिकता बस \(1 - \Phi(z)\) होती है।
हल किया हुआ उदाहरण
एक IQ-शैली के वितरण को लें जिसमें \(mu = 100\), \(sigma = 15\) है, और \(x = 130\) पर मूल्यांकन करें। पहले $$z = \frac{130 - 100}{15} = 2$$ घनत्व $$f(130) = \frac{0.3989422804}{15} \cdot e^{-2} = 0.003599750$$ होता है। निचली संचयी प्रायिकता \(\Phi(2) = 0.9772498681\) है, इसलिए ऊपरी संचयी प्रायिकता \(0.0227501319\) है — यानी लगभग 2.28% मान 130 से अधिक होते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
z क्या है? z मानकीकृत स्कोर है, यानी x माध्य से कितने मानक विचलन ऊपर (धनात्मक) या नीचे (ऋणात्मक) स्थित है।
sigma धनात्मक क्यों होना चाहिए? शून्य या उससे कम मानक विचलन वितरण को अपरिभाषित बना देता है और शून्य से भाग की समस्या पैदा करता है, इसलिए sigma का 0 से बड़ा होना ज़रूरी है।
क्या f(x) और प्रायिकताएँ मिलकर 1 बनती हैं? दोनों संचयी प्रायिकताएँ \(P(X \le x)\) और \(P(X > x)\) मिलकर 1 बनती हैं। घनत्व \(f(x)\) कोई प्रायिकता नहीं है और इस योग का हिस्सा नहीं है; यह x पर वक्र की ऊँचाई है।
