i की घात वाला कैलकुलेटर क्या है?
काल्पनिक इकाई i को \(i^2 = -1\) से परिभाषित किया जाता है। जब आप i को क्रमशः बढ़ती पूर्णांक घातों पर ऊपर उठाते हैं, तो परिणाम चार के एक चक्र में दोहराते हैं: \(i^0 = 1\), \(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\), और फिर से \(i^4 = 1\)। यह कैलकुलेटर किसी भी पूर्णांक घातांक n — धनात्मक, शून्य या ऋणात्मक — को लेता है और तुरंत \(i^n\) को 1, i, −1 या −i इन चार मानों में से एक के रूप में लौटाता है, साथ ही उसका वास्तविक और काल्पनिक भाग भी दिखाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
इनपुट बॉक्स में घातांक n लिखें और सबमिट करें। कैलकुलेटर n mod 4 निकालता है (इस तरह समायोजित किया जाता है कि ऋणात्मक संख्याएँ सही ढंग से काम करें) और शेषफल को संगत मान से जोड़ देता है। शेषफल 0 पर मान 1 आता है, 1 पर i, 2 पर −1, और 3 पर −i।
सूत्र की व्याख्या
चूँकि \(i^4 = 1\) है, इसलिए \(i^4\) से गुणा करने पर किसी भी मान में बदलाव नहीं आता। इसी कारण \(i^n\) केवल n modulo 4 पर निर्भर करता है। ऋणात्मक घातांकों को सही ढंग से संभालने के लिए यह टूल वास्तविक modulo का उपयोग करता है:
$$i^{\text{Exponent (n)}} = i^{\,((\,n \bmod 4)\,+\,4)\,\bmod\,4}$$उदाहरण के लिए, \(i^{-1} = 1/i = -i\), जो शेषफल 3 के अनुरूप है।
हल किया गया उदाहरण
\(i^{13}\) निकालिए। 13 को 4 से भाग दें: शेषफल 1 आता है (क्योंकि \(13 = 4\times 3 + 1\))। इसलिए \(i^{13} = i^1 =\) i, जिसका वास्तविक भाग 0 और काल्पनिक भाग 1 होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(i^0\) क्या होता है? किसी भी शून्येतर संख्या को घात 0 पर ऊपर उठाने पर 1 आता है, इसलिए \(i^0 = 1\)।
क्या यह ऋणात्मक घातांकों के लिए काम करता है? हाँ। उदाहरण के लिए \(i^{-2} = -1\) और \(i^{-1} = -i\), जिन्हें समायोजित modulo के द्वारा संभाला जाता है।
यह हर 4 पर चक्र क्यों दोहराता है? क्योंकि \(i^2 = -1\) का अर्थ है \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\), जो हमें फिर से शुरुआत पर ले आता है।
