Что такое калькулятор степеней i?
Мнимая единица i задаётся равенством \(i^2 = -1\). Если возводить i в последовательные целые степени, результаты повторяются по циклу из четырёх значений: \(i^0 = 1\), \(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\), а затем снова \(i^4 = 1\). Этот калькулятор принимает любой целый показатель n — положительный, нулевой или отрицательный — и моментально выдаёт in в виде одного из четырёх значений: 1, i, −1 или −i, вместе с действительной и мнимой частями.
Как пользоваться
Введите показатель n в поле ввода и нажмите «Вычислить». Калькулятор находит n по модулю 4 (с поправкой, чтобы отрицательные числа обрабатывались корректно) и сопоставляет остаток с нужным значением. Остаток 0 даёт 1, остаток 1 — i, остаток 2 — −1, а остаток 3 — −i.
Разбор формулы
Поскольку \(i^4 = 1\), умножение на \(i^4\) никак не меняет значение. Значит, in зависит только от n по модулю 4. Чтобы аккуратно обрабатывать отрицательные показатели, калькулятор использует «истинный» остаток: \(((n \bmod 4) + 4) \bmod 4\). Например, \(i^{-1} = 1/i = -i\), что соответствует остатку 3.
$$i^{\text{Exponent (n)}} = i^{\,((\,n \bmod 4)\,+\,4)\,\bmod\,4}$$$$i^{\text{Exponent (n)}} = i^{\,m} = \begin{cases} 1 & m = 0 \\ i & m = 1 \\ -1 & m = 2 \\ -i & m = 3 \end{cases}\quad\text{where } m = ((n \bmod 4) + 4) \bmod 4$$
Пример решения
Вычислим \(i^{13}\). Делим 13 на 4: остаток равен 1 (так как \(13 = 4 \times 3 + 1\)). Следовательно, \(i^{13} = i^1 =\) i, где действительная часть равна 0, а мнимая — 1.
Частые вопросы
Чему равно \(i^0\)? Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому \(i^0 = 1\).
Работает ли это с отрицательными показателями? Да. Например, \(i^{-2} = -1\), а \(i^{-1} = -i\) — это обеспечивает скорректированный остаток по модулю.
Почему цикл повторяется каждые 4 шага? Потому что из \(i^2 = -1\) следует \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\) — мы возвращаемся к началу.
