Qu'est-ce que le calculateur des puissances de i ?
L'unité imaginaire i se définit par \(i^2 = -1\). Lorsqu'on élève i à des puissances entières successives, les résultats se répètent selon un cycle de quatre : \(i^0 = 1\), \(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\), puis \(i^4 = 1\) à nouveau. Ce calculateur accepte n'importe quel exposant entier n — positif, nul ou négatif — et renvoie instantanément in sous la forme de l'une des quatre valeurs 1, i, −1 ou −i, accompagnée de sa partie réelle et de sa partie imaginaire.
Comment l'utiliser
Saisissez l'exposant n dans le champ prévu, puis validez. Le calculateur calcule \(n \bmod 4\) (ajusté pour que les nombres négatifs se comportent correctement) et associe le reste à la valeur correspondante. Un reste de 0 donne 1, un reste de 1 donne i, un reste de 2 donne −1, et un reste de 3 donne −i.
La formule expliquée
Comme \(i^4 = 1\), multiplier par \(i^4\) ne change jamais une valeur. Ainsi, in ne dépend que de n modulo 4. Pour gérer proprement les exposants négatifs, l'outil utilise un véritable modulo :
$$i^{\text{Exposant (n)}} = i^{\,((\,n \bmod 4)\,+\,4)\,\bmod\,4}$$Par exemple, \(i^{-1} = 1/i = -i\), ce qui correspond au reste 3.
Exemple résolu
Calculons \(i^{13}\). On divise 13 par 4 : le reste est 1 (car \(13 = 4 \times 3 + 1\)). Donc $$i^{13} = i^1 = i,$$ avec une partie réelle égale à 0 et une partie imaginaire égale à 1.
FAQ
Que vaut \(i^0\) ? Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1, donc \(i^0 = 1\).
Fonctionne-t-il avec les exposants négatifs ? Oui. Par exemple, \(i^{-2} = -1\) et \(i^{-1} = -i\), gérés grâce au modulo ajusté.
Pourquoi le cycle se répète-t-il tous les 4 ? Parce que \(i^2 = -1\) implique \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\), ce qui ramène au point de départ.
