अकेन्द्रीय F-वितरण क्या है?
अकेन्द्रीय F-वितरण साधारण (केन्द्रीय) F-वितरण का ही एक विस्तार है, जिसमें एक अकेन्द्रीयता पैरामीटर \(\lambda\) जोड़ दिया जाता है। यह उस अनुपात के वितरण के रूप में सामने आता है, जो एक अकेन्द्रीय काई-वर्ग चर (अपनी स्वतंत्रता कोटि \(\nu_1\) से विभाजित) और एक स्वतंत्र केन्द्रीय काई-वर्ग चर (\(\nu_2\) से विभाजित) का होता है। सांख्यिकीय पावर विश्लेषण में इसका मूलभूत महत्व है: जब शून्य परिकल्पना (null hypothesis) गलत होती है, तब ANOVA या रिग्रेशन के F-परीक्षण का सांख्यिकी मान अकेन्द्रीय F के अनुसार चलता है, और \(\lambda\) यह बताता है कि वास्तविक प्रभाव शून्य परिकल्पना से कितनी दूर है। जब \(\lambda = 0\) होता है, तो यह वितरण सिकुड़कर वही परिचित केन्द्रीय F-वितरण बन जाता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले तय करें कि आपको क्या निकालना है: प्रायिकता घनत्व \(f\), निम्न संचयी प्रायिकता \(P\) (यानी CDF, \(x\) के बाईं ओर का क्षेत्रफल), या उच्च संचयी प्रायिकता \(Q = 1 - P\) (\(x\) के दाईं ओर का क्षेत्रफल)। इसके बाद अंश की स्वतंत्रता कोटि \(\nu_1\), हर की स्वतंत्रता कोटि \(\nu_2\), और अकेन्द्रीयता \(\lambda\) दर्ज करें। फिर \(x\) के मानों की एक श्रृंखला बनाएँ — एक प्रारंभिक मान, एक वृद्धि (step) और दोहराव की संख्या देकर। यह उपकरण चुने गए फ़ंक्शन का मूल्यांकन \(x = \text{initialX} + i \cdot \text{step}\) पर \(i = 0..\text{count}-1\) के लिए करता है और परिणाम को सारणी में दिखाता है।
सूत्र की व्याख्या
घनत्व दरअसल केन्द्रीय F घनत्वों का एक पॉइसन-भारित औसत है। प्रत्येक भार \(w_j = \frac{e^{-\lambda/2}(\lambda/2)^{j}}{j!}\) होता है, जो माध्य \(\lambda/2\) वाले पॉइसन वितरण में \(j\) घटनाओं की प्रायिकता है। \(j\)-वाँ पद स्वतंत्रता कोटियों \((\nu_1 + 2j,\ \nu_2)\) वाला केन्द्रीय F घनत्व है, जिसे बीटा फलन \(B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\) के साथ लिखा जाता है।
$$f(x) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda/2}\left(\tfrac{\lambda}{2}\right)^{j}}{j!}\; \frac{\left(\tfrac{\nu_1}{\nu_2}\right)^{\frac{\nu_1}{2}+j} x^{\frac{\nu_1}{2}+j-1}}{B\!\left(\tfrac{\nu_1}{2}+j,\tfrac{\nu_2}{2}\right)\left(1+\tfrac{\nu_1}{\nu_2}x\right)^{\frac{\nu_1+\nu_2}{2}+j}}$$संचयी प्रायिकता में प्रत्येक घनत्व के स्थान पर संगत केन्द्रीय F CDF रख दिया जाता है, जो नियमित अपूर्ण बीटा फलन \(I_z\!\left(\tfrac{\nu_j}{2}, \tfrac{\nu_2}{2}\right)\) के बराबर होता है और इसका मूल्यांकन \(z = \frac{\nu_j x}{\nu_2 + \nu_j x}\) पर किया जाता है।
$$F(x;\nu_1,\nu_2,\lambda) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\; I_{z}\!\left(\tfrac{\nu_1}{2}+j,\; \tfrac{\nu_2}{2}\right),\quad z = \frac{\nu_1\,x}{\nu_1\,x + \nu_2}$$
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(\nu_1 = 3\), \(\nu_2 = 2\), \(\lambda = 0\) (केन्द्रीय स्थिति) और \(x = 1\) पर \(P\) निकालना है। तब $$z = \frac{3 \cdot 1}{2 + 3 \cdot 1} = 0.6$$ और \(P = I_{0.6}(1.5,\ 1.0)\)। चूँकि \(I_z(a,1) = z^a\) होता है, इसलिए यह $$0.6^{1.5} = 0.464758$$ हुआ, यानी \(P\) लगभग \(0.4648\) और \(Q\) लगभग \(0.5352\)। अब अकेन्द्रीयता \(\lambda = 1\) जोड़ने पर द्रव्यमान बड़े \(x\) की ओर खिसक जाता है, जिससे निम्न प्रायिकता घटकर लगभग \(P = 0.451\) रह जाती है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
जब \(\lambda = 0\) हो तो क्या होता है? परिणाम ठीक केन्द्रीय F-वितरण होता है: केवल \(j = 0\) वाले पद का ही भार रहता है।
x = 0 पर घनत्व शून्य क्यों होता है? \(\nu_1 \geq 2\) होने पर \(x = 0\) पर घनत्व \(0\) होता है; जबकि \(\nu_1 < 2\) होने पर \(x\) के \(0\) के निकट पहुँचते ही यह अनंत की ओर बढ़ जाता है, इसलिए वहाँ \(x = 0\) पर कोई सार्थक मान नहीं मिलता।
यह श्रृंखला कितनी सटीक है? पॉइसन भारों को तब तक जोड़ा जाता है जब तक संचयी द्रव्यमान लगभग \(1\) न हो जाए, और अपूर्ण बीटा फलन का मूल्यांकन स्थिरता के लिए log-gamma के साथ सतत भिन्न (continued fraction) द्वारा किया जाता है, जिससे सामान्य इनपुट पर उच्च परिशुद्धता मिलती है।
