Merkezi olmayan F dağılımı nedir?
Merkezi olmayan F dağılımı, sıradan (merkezi) F dağılımını lambda adı verilen bir merkez dışılık parametresi ekleyerek genelleştirir. Bu dağılım, merkezi olmayan bir ki-kare değişkeninin (kendi serbestlik derecesi \(\nu_1\)'e bölünmüş hali) bağımsız bir merkezi ki-kare değişkenine (\(\nu_2\)'ye bölünmüş hali) oranının dağılımı olarak ortaya çıkar. İstatistiksel güç analizinin temel taşıdır: bir sıfır hipotezi yanlış olduğunda, ANOVA veya regresyon F testinin test istatistiği merkezi olmayan bir F dağılımına uyar ve lambda, gerçek etkinin sıfır hipotezinden ne kadar uzakta olduğunu ölçer. \(\lambda = 0\) olduğunda dağılım, bildiğimiz merkezi F dağılımına indirgenir.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Önce hangi büyüklüğü hesaplamak istediğinizi seçin: olasılık yoğunluğu \(f\), alt birikimli olasılık \(P\) (yani CDF, \(x\)'in solunda kalan alan) ya da üst birikimli olasılık \(Q = 1 - P\) (\(x\)'in sağında kalan alan). Ardından pay serbestlik derecesi \(\nu_1\)'i, payda serbestlik derecesi \(\nu_2\)'yi ve merkez dışılık lambda'yı girin. Sonrasında bir başlangıç değeri, bir artış (adım) ve tekrar sayısı belirterek bir \(x\) değerleri dizisi tanımlayın; araç, seçtiğiniz fonksiyonu \(x = \text{başlangıçX} + i \cdot \text{adım}\) (\(i = 0 \dots \text{sayı}-1\)) noktalarında hesaplar ve sonucu tablo halinde sunar.
Formülün açıklaması
Yoğunluk, merkezi F yoğunluklarının Poisson ağırlıklı bir ortalamasıdır. Her ağırlık \(w_j = e^{-\lambda/2}(\lambda/2)^j / j!\) şeklindedir; bu, ortalaması \(\lambda/2\) olan bir Poisson dağılımında \(j\) olay görülme olasılığıdır. \(j\)'inci terim, serbestlik dereceleri \((\nu_1 + 2j, \nu_2)\) olan merkezi F yoğunluğudur ve Beta fonksiyonu \(B(a,b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\) ile yazılır. $$f(x) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda/2}\left(\tfrac{\lambda}{2}\right)^{j}}{j!}\; \frac{\left(\tfrac{\nu_1}{\nu_2}\right)^{\frac{\nu_1}{2}+j} x^{\frac{\nu_1}{2}+j-1}}{B\!\left(\tfrac{\nu_1}{2}+j,\tfrac{\nu_2}{2}\right)\left(1+\tfrac{\nu_1}{\nu_2}x\right)^{\frac{\nu_1+\nu_2}{2}+j}}$$ Birikimli olasılıkta her yoğunluk, ona karşılık gelen merkezi F CDF'si ile değiştirilir; bu da \(z = \nu_j x / (\nu_2 + \nu_j x)\) noktasında hesaplanan düzenlenmiş tam olmayan Beta fonksiyonu \(I_z(\nu_j/2, \nu_2/2)\)'ye eşittir. $$F(x;\nu_1,\nu_2,\lambda) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\; I_{z}\!\left(\tfrac{\nu_1}{2}+j,\; \tfrac{\nu_2}{2}\right),\quad z = \frac{\nu_1\,x}{\nu_1\,x + \nu_2}$$
Çözümlü örnek
\(\nu_1 = 3\), \(\nu_2 = 2\), \(\lambda = 0\) (merkezi durum) alalım ve \(x = 1\) noktasında \(P\) değerini bulalım. Buradan \(z = 3 \cdot 1/(2 + 3 \cdot 1) = 0{,}6\) ve \(P = I_{0,6}(1{,}5;\, 1{,}0)\) olur. \(I_z(a,1) = z^a\) olduğundan, bu \(0{,}6^{1,5} = 0{,}464758\) demektir; yani yaklaşık \(P = 0{,}4648\) ve \(Q = 0{,}5352\) bulunur. Merkez dışılığı \(\lambda = 1\) yaparak kütle daha büyük \(x\) değerlerine doğru kayar ve alt olasılık yaklaşık \(P = 0{,}451\) düzeyine düşer.
Sıkça sorulan sorular
\(\lambda = 0\) olduğunda ne olur? Sonuç tam olarak merkezi F dağılımıdır: yalnızca \(j = 0\) terimi ağırlık taşır.
Yoğunluk \(x = 0\)'da neden sıfırdır? \(\nu_1 \geq 2\) için yoğunluk \(x = 0\)'da 0'dır; \(\nu_1 < 2\) için ise \(x\) sıfıra yaklaştıkça sonsuza ıraksar; dolayısıyla \(x = 0\)'daki değer bu durumda anlamlı değildir.
Seri ne kadar doğru? Poisson ağırlıkları, birikimli kütle pratikte 1'e ulaşıncaya kadar toplanır; tam olmayan Beta fonksiyonu ise kararlılık için log-gamma kullanan bir sürekli kesir yöntemiyle hesaplanır ve bu, tipik girdilerde yüksek hassasiyet sağlar.
