वाइबुल वितरण क्या है?
वाइबुल वितरण (Weibull distribution) सबसे लचीले सतत प्रायिकता वितरणों में से एक है और रिलायबिलिटी इंजीनियरिंग, लाइफ-डेटा विश्लेषण तथा सर्वाइवल मॉडलिंग की रीढ़ माना जाता है। केवल दो पैरामीटर बदलकर — एक शेप पैरामीटर m (जिसे k या बीटा भी लिखते हैं) और एक स्केल पैरामीटर eta (जिसे लैम्ब्डा या a, यानी कैरेक्टरिस्टिक लाइफ भी कहते हैं) — यह ऐसी फेल्योर दरों को मॉडल कर सकता है जो समय के साथ घटें, स्थिर रहें या बढ़ें। यह कैलकुलेटर मानक 2-पैरामीटर स्केल रूप का उपयोग करता है जिसमें लोकेशन शून्य पर तय है, इसलिए इसका सपोर्ट \(x \ge 0\) है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
वह मान x दर्ज करें जिस पर आप वितरण का मूल्यांकन करना चाहते हैं (\(x \ge 0\)), शेप पैरामीटर m (\(> 0\)) और स्केल पैरामीटर eta (\(> 0\))। यह टूल तीन परिणाम देता है: प्रायिकता घनत्व \(f(x)\), निचली संचयी प्रायिकता \(P(X \le x)\) (यानी CDF), और ऊपरी संचयी प्रायिकता \(P(X > x)\) (सर्वाइवल या रिलायबिलिटी फंक्शन)। ध्यान दें कि \(F(x) + R(x)\) हमेशा 1 के बराबर होता है।
सूत्रों की व्याख्या
मान लीजिए \(z = x / \eta\)। घनत्व $$f(x) = \frac{m}{\eta} \left(\frac{x}{\eta}\right)^{m-1} e^{-\left(x/\eta\right)^{m}}$$ है। संचयी वितरण फंक्शन $$F(x) = 1 - e^{-\left(x/\eta\right)^{m}}$$ है, और सर्वाइवल फंक्शन $$R(x) = e^{-\left(x/\eta\right)^{m}}$$ है। शेप पैरामीटर हैज़र्ड व्यवहार को नियंत्रित करता है: \(m = 1\) पर यह एक्सपोनेंशियल वितरण बन जाता है (स्थिर फेल्योर दर, माध्य \(\eta\)), \(m = 2\) पर रैले (Rayleigh) वितरण मिलता है, और m लगभग 3.6 के आसपास यह घंटी-आकार के सामान्य (normal) वक्र के करीब पहुँच जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(x = 1.5\), \(m = 2\), \(\eta = 1\)। तब \(z = 1.5\) और \(z^m = 2.25\), इसलिए \(e^{-2.25} = 0.105399\)। ऊपरी संचयी प्रायिकता \(R = 0.105399\) और निचली संचयी प्रायिकता $$F = 1 - 0.105399 = 0.894601$$ होगी। घनत्व $$f = \frac{2}{1} \cdot 1.5^{1} \cdot 0.105399 = 0.316198$$ निकलता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
हर शेप के लिए \(F(\eta)\) लगभग 0.632 क्यों होता है? जब \(x = \eta\) होता है, तब \(z = 1\) इसलिए \(z^m = 1\) और \(F = 1 - e^{-1} = 0.6321\) निकलता है, जो m पर निर्भर नहीं करता। इसी कारण eta को कैरेक्टरिस्टिक लाइफ कहा जाता है।
\(x < 0\) होने पर क्या होता है? 2-पैरामीटर वाइबुल का सपोर्ट \([0, \infty)\) है, इसलिए वहाँ \(f(x) = 0\), \(F(x) = 0\) और \(R(x) = 1\) होता है।
क्या स्केल के लिए इकाइयों की ज़रूरत है? इनपुट शुद्ध संख्याएँ हैं; x और eta की इकाइयाँ एक जैसी होनी चाहिए (जैसे घंटे), लेकिन गणना स्वयं विमारहित (dimensionless) होती है।
