와이블 분포란?
와이블(Weibull) 분포는 가장 유연한 연속확률분포 중 하나로, 신뢰성 공학, 수명 데이터 분석, 생존 분석의 핵심 도구로 널리 쓰입니다. 두 개의 모수, 즉 형상모수 m(k 또는 베타로도 표기)과 척도모수 eta(람다 또는 a, 특성수명이라고도 함)를 조정하면 시간이 지날수록 감소·일정·증가하는 다양한 고장률을 모두 표현할 수 있습니다. 이 계산기는 위치모수를 0으로 고정한 표준 2-모수 척도형을 사용하므로, 정의역은 \(x \ge 0\) 입니다.
계산기 사용법
분포를 평가하고 싶은 값 x(\(x \ge 0\)), 형상모수 m(\(> 0\)), 척도모수 eta(\(> 0\))를 입력하세요. 계산기는 세 가지 결과를 돌려줍니다. 확률밀도 \(f(x)\), 하위 누적확률 \(P(X \le x)\)(즉 CDF), 그리고 상위 누적확률 \(P(X > x)\)(생존함수 또는 신뢰도 함수)입니다. \(F(x) + R(x)\)는 항상 1이 된다는 점을 기억해 두세요.
공식 풀이
\(z = x / \eta\) 로 두면, 확률밀도는 $$f(x) = \frac{m}{\eta} \cdot z^{m-1} \cdot e^{-z^{m}}$$ 입니다. 누적분포함수는 $$F(x) = 1 - e^{-z^{m}}$$ 생존함수는 $$R(x) = e^{-z^{m}}$$ 입니다. 형상모수는 고장률(위험률)의 형태를 결정합니다. \(m = 1\) 이면 지수분포(고장률 일정, 평균 \(\eta\))로, \(m = 2\) 이면 레일리(Rayleigh) 분포로 단순화되며, \(m\) 이 약 3.6 부근일 때는 종 모양의 정규분포와 비슷한 형태가 됩니다.
예제 풀이
\(x = 1.5\), \(m = 2\), \(\eta = 1\) 이라고 해봅시다. 그러면 \(z = 1.5\), \(z^{m} = 2.25\) 이므로 \(e^{-2.25} = 0.105399\) 입니다. 따라서 상위 누적확률 \(R = 0.105399\), 하위 누적확률 $$F = 1 - 0.105399 = 0.894601$$ 이 됩니다. 확률밀도는 $$f = \frac{2}{1} \cdot 1.5^{1} \cdot 0.105399 = 0.316198$$ 입니다.
자주 묻는 질문
왜 형상모수와 상관없이 \(F(\eta)\)가 약 0.632 인가요? \(x = \eta\) 일 때 \(z = 1\) 이므로 \(z^{m} = 1\) 이 되고, \(F = 1 - e^{-1} = 0.6321\) 로 \(m\) 과 무관합니다. \(\eta\) 를 특성수명(characteristic life)이라고 부르는 이유가 바로 여기에 있습니다.
\(x < 0\) 이면 어떻게 되나요? 2-모수 와이블 분포의 정의역은 \([0, \infty)\)이므로, 이 구간에서는 \(f(x) = 0\), \(F(x) = 0\), \(R(x) = 1\) 입니다.
척도모수에 단위가 필요한가요? 입력값은 모두 순수한 숫자이며, \(x\) 와 \(\eta\) 는 같은 단위(예: 시간)를 사용해야 합니다. 다만 계산 자체는 무차원(단위 무관)으로 이루어집니다.
