균등분포 백분위수(분위수) 계산기

계산 입력

결과

백분위수 x

1.6

구간 [a, b]에서의 균등분포 분위수

실제 하측 확률 p	0.2
공식	x = a + p · (b − a)

이 계산기의 기능

이 도구는 하한 a부터 상한 b까지의 구간에서 정의된 연속균등분포의 백분위수(분위수라고도 합니다)를 구해 줍니다. 입력한 누적확률에 대해, 그 확률에 도달하는 구간 위의 값 x를 찾아냅니다. 균등분포는 확률을 [a, b] 전체에 고르게 분포시키기 때문에, 답은 단순하고 정확한 선형 보간으로 계산됩니다.

사용 방법

먼저 누적 방식을 선택하세요. 확률이 $P(X \le x)$(왼쪽 면적)를 의미한다면 하측 누적 P를, $P(X \ge x)$(오른쪽 면적)를 의미한다면 상측 누적 Q를 고르면 됩니다. 그다음 확률을 0과 1 사이의 값으로 입력하고, 하한 a와 상한 b를 $a \le b$가 되도록 입력하세요. 계산기는 백분위수 x와 내부적으로 사용한 실제 하측 확률 p를 함께 보여 줍니다.

공식 설명

[a, b] 위의 연속균등분포 변수에 대한 누적분포함수는 $$F(x) = \frac{x - a}{b - a}$$입니다. 이를 역으로 풀면 분위수 공식이 나옵니다: $$x = a + p \cdot (b - a)$$ 여기서 p는 하측 확률입니다. 하측 방식에서는 p가 입력한 P와 같습니다. 상측 방식에서는 $Q = 1 - F(x)$이므로, 하측 확률로 환산하면 $p = 1 - Q$가 됩니다. 결과는 언제나 a와 b 사이에 있으며, $p = 0$이면 $x = a$, $p = 1$이면 $x = b$가 됩니다. 만약 a와 b가 같다면 분포는 퇴화(degenerate)하여, 유효한 확률 어떤 값에 대해서도 $x = a$입니다.

a와 b 사이 분위수 x까지 왼쪽 면적 p가 음영 처리된 균등분포 직사각형 — 분위수 x가 균등 구간을 나누어 왼쪽 꼬리의 음영 면적이 확률 p와 같아집니다.

계산 예시

하측 방식에서 P = 0.2, a = 1, b = 4라고 합시다. 그러면 $p = 0.2$이고 $$x = 1 + 0.2 \cdot (4 - 1) = 1 + 0.6 = 1.6$$입니다. 상측 방식으로 바꿔 Q = 0.2를 넣으면 $p = 0.8$이 되어 $$x = 1 + 0.8 \cdot 3 = 3.4$$가 됩니다. 확인해 보면 $P(X \ge 3.4) = \frac{4 - 3.4}{3} = 0.2$로, 요구한 값과 일치합니다.