기하분포 백분위수(분위수) 계산기

계산 입력

결과

백분위수 x (정수 실패 횟수)

누적확률을 충족하는 가장 작은 정수 x

연속형(실숫값) 해	2.1506601031

이 계산기의 기능

이 도구는 기하분포의 백분위수(분위수)를 구해 줍니다. 누적확률과 시행당 성공확률 p를 입력하면 그에 해당하는 값 x를 찾아냅니다. 여기서 기하분포는 첫 성공이 나오기 전까지의 실패 횟수를 세는 분포로, $x = 0, 1, 2, 3, \ldots$ 의 값을 가집니다. 확률질량함수는 $$f(x, p) = p(1 - p)^{x}$$ 입니다.

시행 횟수에 따라 기하급수적으로 감소하는 기하분포 확률의 막대그래프 — 기하분포: 첫 성공 전에 x번의 실패(또는 시행)가 필요할 확률로, 기하급수적으로 감소한다.

두 가지 누적확률 정의

어느 쪽 꼬리(tail)를 기준으로도 계산할 수 있습니다. 하측 누적확률 $P(x, p) = 1 - (1 - p)^{x+1}$ 은 실패가 x번 이하일 확률입니다. 상측 누적확률 $Q(x, p) = (1 - p)^{x}$ 은 실패가 x번 이상일 확률입니다. 사용하려는 방식을 선택한 뒤 해당 확률값을 입력하면 됩니다.

왼쪽에 하측 영역 P, 오른쪽에 상측 영역 Q를 음영 처리한 두 개의 막대그래프 — 동일한 기하분포에서의 하측 확률 P(왼쪽)와 상측 확률 Q(오른쪽) 비교.

공식 풀이

$q = 1 - p$ 라고 합시다. 하측 누적분포함수(CDF)를 역으로 풀면, $1 - q^{x+1} = P$ 에서 $$x = \frac{\ln(1 - P)}{\ln(q)} - 1$$ 이 됩니다. 상측 CDF를 역으로 풀면, $q^{x} = Q$ 에서 $$x = \frac{\ln(Q)}{\ln(q)}$$ 가 됩니다. x는 실패 횟수이므로 반드시 정수여야 합니다. 따라서 백분위수 값은 $\lceil x \rceil$(올림)로 보고하며, 최소 0 이상이 되도록 제한합니다. 정밀한 계산을 위해 연속형 실숫값 해도 함께 표시합니다.

계산 예시

하측 방식, $P = 0.8$, $p = 0.4$ 인 경우를 봅시다. $q = 0.6$, $\ln(0.6) = -0.5108256$ 입니다. $$x = \frac{\ln(0.2)}{\ln(0.6)} - 1 = \frac{-1.6094379}{-0.5108256} - 1 = 3.151035 - 1 = 2.151035$$ 가 됩니다. 올림하면 정수 백분위수는 $x = 3$ 입니다. 검산: $P(3) = 1 - 0.6^{4} = 0.8704 \ge 0.8$ 이고, $P(2) = 0.784 < 0.8$ 이므로 $x = 3$ 이 맞습니다.