이 계산기로 할 수 있는 것
이 도구는 주어진 척도모수 b에 대해 원하는 점 x에서의 지수분포 값을 계산합니다. 결과로는 세 가지 값을 제공합니다. 확률밀도 f(x), 하위(좌측) 누적확률 P(X ≤ x), 그리고 상위(우측) 누적확률 P(X > x)입니다. 지수분포는 어디서나 동일하게 적용되는 보편적인 수학으로, 대기 시간, 수명, 서로 독립적인 사건들 사이의 간격을 모델링하는 데 널리 쓰입니다.
사용 방법
음수가 아닌 백분위 점 x와 0보다 큰 척도모수 b를 입력한 뒤 세 가지 결과를 확인하면 됩니다. 여기서 b는 척도(scale)로, 분포의 평균과 같으며 비율모수는 \(\lambda = 1/b\)입니다. 교재에서 비율(rate) 방식의 모수를 사용한다면, 입력하기 전에 \(b = 1/\lambda\)로 변환해 주세요.
공식 풀이
\(x \ge 0\)이고 \(b > 0\)일 때:
- 확률밀도: $$f(x) = \frac{1}{b}\, e^{-x/b}$$
- 하위 누적확률(CDF): $$P(X \le x) = 1 - e^{-x/b}$$
- 상위 누적확률(생존함수): $$P(X > x) = e^{-x/b}$$
생존항 \(e^{-x/b}\)를 한 번만 계산해 재사용하기 때문에, 하위 누적확률과 상위 누적확률의 합은 항상 정확히 1이 됩니다.
계산 예시
\(x = 2\), \(b = 1\)이라고 합시다. 비율 \(x/b = 2\)이고, \(e^{-2} \approx 0.135335\)입니다. 따라서 확률밀도는 $$f(2) = \frac{1}{1}\cdot 0.135335 = 0.135335,$$ 하위 누적확률은 \(1 - 0.135335 = 0.864665\), 상위 누적확률은 \(0.135335\)가 됩니다. 검산하면 \(0.864665 + 0.135335 = 1.0\)으로 딱 맞습니다.
자주 묻는 질문
척도모수 b란 무엇인가요? 지수분포의 평균값입니다. b가 클수록 분포가 넓게 퍼지고 0 근처에서의 밀도는 낮아집니다.
b가 비율(rate)인 경우에는 어떻게 하나요? 비율 \(\lambda\)를 알고 있다면 \(b = 1/\lambda\)를 입력하세요. 예를 들어 비율이 0.5이면 척도 \(b = 2\)가 됩니다.
x = 0일 때는 어떻게 되나요? 아직 아무 시간도 경과하지 않았으므로 확률밀도는 \(1/b\), 하위 누적확률은 0, 상위 누적확률은 1이 됩니다.
