Ce que fait cette calculatrice
Cet outil évalue la loi exponentielle en un point x donné, pour un paramètre d'échelle b choisi. Il fournit trois résultats : la densité de probabilité \(f(x)\), la probabilité cumulée inférieure (à gauche) \(P(X \le x)\) et la probabilité cumulée supérieure (à droite) \(P(X > x)\). La loi exponentielle relève des mathématiques universelles — identiques partout — et sert couramment à modéliser des temps d'attente, des durées de vie et les intervalles séparant des événements aléatoires indépendants.
Comment l'utiliser
Saisissez un point x positif ou nul, puis un paramètre d'échelle b strictement positif, et lisez les trois résultats. Ici, b représente l'échelle, égale à la moyenne de la loi ; le paramètre de taux vaut \(\lambda = 1/b\). Si votre manuel utilise la paramétrisation par le taux, posez simplement \(b = 1/\lambda\) avant de saisir la valeur.
La formule expliquée
Pour \(x \ge 0\) et \(b > 0\) :
- Densité : $$f(x) = \frac{1}{b}\, e^{-x/b}$$
- Cumulée inférieure (fonction de répartition) : $$P(X \le x) = 1 - e^{-x/b}$$
- Cumulée supérieure (fonction de survie) : $$P(X > x) = e^{-x/b}$$
Comme le terme de survie \(e^{-x/b}\) n'est calculé qu'une seule fois puis réutilisé, les probabilités cumulées inférieure et supérieure ont toujours pour somme exacte 1.
Exemple détaillé
Prenons \(x = 2\) et \(b = 1\). Le rapport \(x/b = 2\), et \(e^{-2} \approx 0{,}135335\). La densité vaut donc $$f(2) = \frac{1}{1}\cdot 0{,}135335 = 0{,}135335,$$ la cumulée inférieure vaut \(1 - 0{,}135335 = 0{,}864665\) et la cumulée supérieure vaut \(0{,}135335\). Vérification : \(0{,}864665 + 0{,}135335 = 1{,}0\).
FAQ
Qu'est-ce que le paramètre d'échelle b ? C'est la moyenne de la loi exponentielle. Plus b est grand, plus la loi s'étale et plus la densité au voisinage de zéro diminue.
Et si b correspond au taux ? Si vous disposez du taux \(\lambda\), saisissez \(b = 1/\lambda\). Par exemple, un taux de 0,5 correspond à une échelle \(b = 2\).
Que se passe-t-il en x = 0 ? La densité vaut \(1/b\), la cumulée inférieure vaut 0 et la cumulée supérieure vaut 1, puisqu'aucun temps ne s'est encore écoulé.
