Qu'est-ce que la loi du khi-deux non centrée ?
La loi du khi-deux non centrée généralise la loi du khi-deux ordinaire (centrée) en y ajoutant un paramètre de non-centralité lambda. Elle décrit la somme des carrés de variables normales indépendantes dont les moyennes ne sont pas nulles. On la retrouve couramment dans l'analyse de puissance statistique, la détection de signal et les tests d'hypothèses. Ce calculateur relève des mathématiques pures et s'applique de façon universelle : aucune règle propre à un pays n'entre en jeu.
Comment utiliser ce calculateur
Sélectionnez d'abord la grandeur à afficher : la densité de probabilité \(f\), la probabilité cumulée inférieure \(P\) ou la probabilité cumulée supérieure \(Q\). Saisissez ensuite les degrés de liberté nu (strictement supérieurs à 0), la non-centralité lambda (au moins égale à 0) et une valeur de référence \(x\). Indiquez une valeur initiale de \(x\), un pas d'incrément et le nombre de lignes souhaité pour générer un tableau de couples \((x, \text{valeur})\) sur une plage donnée.
La formule expliquée
Le khi-deux non centré est un mélange de lois du khi-deux centrées pondéré par une loi de Poisson(lambda/2). Le poids du terme \(j\) vaut \(w_j = e^{-\lambda/2} (\lambda/2)^j / j!\). La densité s'écrit
$$f(x;\nu,\lambda)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\,\frac{x^{\,k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(k/2\right)}\quad\text{where}\;\; k=\nu+2j,\;\; \lambda=\lambda$$soit la somme des \(w_j\) multipliés par la densité du khi-deux centré à \(\nu+2j\) degrés de liberté. La probabilité cumulée inférieure correspond au même mélange appliqué à la fonction de répartition du khi-deux centré, laquelle fait appel à la fonction gamma incomplète inférieure régularisée :
$$F(x;\nu,\lambda)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\,P\!\left(\frac{\nu+2j}{2},\;\frac{x}{2}\right)\quad\text{where}\;\; \lambda=\lambda$$La probabilité cumulée supérieure se déduit simplement par \(Q = 1 - P\).
Exemple concret
Pour \(\nu = 3\), \(\lambda = 1\), \(x = 2\) : les poids de la loi de Poisson(0,5) sont \(0{,}6065\), \(0{,}3033\), \(0{,}0758\), \(0{,}0126\) et \(0{,}0016\). Les fonctions de répartition du khi-deux centré en \(x = 2\) pour 3, 5, 7, 9 et 11 degrés de liberté valent respectivement \(0{,}4276\), \(0{,}1511\), \(0{,}0387\), \(0{,}0074\) et \(0{,}0011\). La somme pondérée donne \(P \approx 0{,}3082\), soit \(Q \approx 0{,}6918\). La densité \(f\) au même point est d'environ \(0{,}173\).
FAQ
Que se passe-t-il quand \(\lambda = 0\) ? La loi se réduit exactement à la loi du khi-deux centrée à \(\nu\) degrés de liberté, car seul le terme \(j = 0\) subsiste, avec un poids égal à 1.
nu peut-il être non entier ? Oui. La fonction gamma gère n'importe quel \(\nu\) supérieur à 0 : des degrés de liberté fractionnaires sont donc parfaitement valables.
Pourquoi la densité vaut-elle 0 en \(x = 0\) ? Pour \(\nu\) supérieur ou égal à 2, la densité est nulle à l'origine ; pour \(\nu\) inférieur à 2, elle diverge. Le calculateur renvoie donc 0 en \(x = 0\) comme limite pratique.
