ما هو توزيع كاي تربيع اللامركزي؟
يُعدّ توزيع كاي تربيع اللامركزي تعميماً لتوزيع كاي تربيع العادي (المركزي) عبر إضافة معامل اللامركزية \(\lambda\). وهو يصف مجموع مربعات متغيرات طبيعية مستقلة ذات متوسطات غير صفرية. يُستخدم على نطاق واسع في تحليل القوة الإحصائية، واكتشاف الإشارات، واختبار الفرضيات. هذه الحاسبة رياضية بحتة وتنطبق عالمياً — فلا توجد أي قواعد خاصة بدولة معينة.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
اختر الكمية التي تريد إخراجها: دالة الكثافة الاحتمالية \(f\)، أو الاحتمال التراكمي السفلي \(P\)، أو الاحتمال التراكمي العلوي \(Q\). أدخل درجات الحرية \(\nu\) (يجب أن تكون أكبر من 0)، ومعامل اللامركزية \(\lambda\) (يجب ألا يقل عن 0)، وقيمة \(x\) المرجعية. ثم حدّد قيمة \(x\) الابتدائية، ومقدار الزيادة (الخطوة)، وعدد الصفوف لتوليد جدول من أزواج (\(x\)، القيمة) عبر مدى معيّن.
شرح الصيغة
توزيع كاي تربيع اللامركزي هو مزيج من توزيعات كاي تربيع المركزية مُرجّح بأوزان بواسون\((\lambda/2)\). الوزن للحدّ \(j\) هو $$w_j = \frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}.$$ وتُعطى الكثافة بالعلاقة $$f(x;\nu,\lambda)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\,\frac{x^{\,k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma\!\left(k/2\right)}\quad\text{where}\;\; k=\nu+2j,\;\; \lambda=\lambda$$ أي مجموع \(w_j\) مضروباً في كثافة كاي تربيع المركزي بدرجات حرية \(\nu+2j\). أما الاحتمال التراكمي السفلي فهو المزيج نفسه مطبّقاً على دالة التوزيع التراكمي لكاي تربيع المركزي، والتي تستخدم دالة غاما الناقصة السفلية المنظَّمة: $$F(x;\nu,\lambda)=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda/2}\left(\lambda/2\right)^{j}}{j!}\,P\!\left(\frac{\nu+2j}{2},\;\frac{x}{2}\right)\quad\text{where}\;\; \lambda=\lambda$$ والاحتمال التراكمي العلوي ببساطة هو \(Q = 1 - P\).
مثال محلول
عند \(\nu = 3\) و\(\lambda = 1\) و\(x = 2\): تكون أوزان بواسون\((0.5)\) هي \(0.6065\) و\(0.3033\) و\(0.0758\) و\(0.0126\) و\(0.0016\). وتكون دوال التوزيع التراكمي لكاي تربيع المركزي عند \(x=2\) لدرجات الحرية 3 و5 و7 و9 و11 هي \(0.4276\) و\(0.1511\) و\(0.0387\) و\(0.0074\) و\(0.0011\). ويعطي المجموع المرجّح \(P\) بنحو \(0.3082\)، ومن ثَمّ \(Q\) بنحو \(0.6918\). أما الكثافة \(f\) عند النقطة نفسها فهي نحو \(0.173\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث عندما تكون \(\lambda = 0\)؟ يختزل التوزيع تماماً إلى توزيع كاي تربيع المركزي بدرجات حرية \(\nu\)، لأن الحدّ \(j=0\) وحده هو الذي يبقى بوزن قدره 1.
هل يمكن أن تكون \(\nu\) غير صحيحة (كسرية)؟ نعم. تتعامل دالة غاما مع أي قيمة \(\nu\) أكبر من 0، لذا فإن درجات الحرية الكسرية صالحة.
لماذا تساوي الكثافة 0 عند \(x = 0\)؟ عندما تكون \(\nu\) تساوي 2 أو أكثر، تكون الكثافة 0 عند نقطة الأصل؛ أما عندما تكون \(\nu\) أقل من 2 فإنها تتباعد إلى ما لا نهاية، لذا تُرجِع الحاسبة القيمة 0 عند \(x = 0\) كحدٍّ عملي.
