ما هو توزيع مربع كاي؟
يصف توزيع مربع كاي (χ²) مجموع مربعات متغيرات طبيعية معيارية مستقلة. ويتحدد هذا التوزيع بمعامل واحد فقط هو درجات الحرية \(\nu\) (الحرف الإغريقي «نيو»)، وهو حجر أساس في اختبارات الفرضيات، واختبارات جودة المطابقة، وتحليل جداول التوافق، وحساب فترات الثقة للتباين. تتيح لك هذه الحاسبة تقييم ثلاث دوال مترابطة بدلالة \(x\) عند قيمة \(\nu\) مختارة: كثافة الاحتمال \(f\)، والاحتمال التراكمي الأدنى \(P(X \le x)\)، والاحتمال التراكمي الأعلى \(Q(X > x)\).
كيفية الاستخدام
اختر أولًا الدالة التي تريدها كقيمة رئيسية، ثم أدخل درجات الحرية \(\nu\) (أي قيمة أكبر من 0) والنقطة \(x\) التي ترغب في التقييم عندها. تحدد القيمة الابتدائية لـ \(x\) ومقدار الزيادة وعدد النقاط سلسلةً على الصورة $$x_k = \text{startX} + k \cdot \text{stepX},$$ تُستخدم لبناء جدول أو رسم بياني للدالة المختارة. جميع المدخلات بلا وحدات قياس، لذا لا حاجة لأي تحويل بين الوحدات.
شرح المعادلة
تُعطى الكثافة بالعلاقة $$f(x;\,\nu) = \frac{x^{\,\frac{\nu}{2}-1}\,e^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{\nu}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ عندما يكون \(x \ge 0\). أما الاحتمالات التراكمية فتعتمد على دالة غاما الناقصة المنظَّمة: حيث يساوي \(P(x,\nu)\) دالة غاما الناقصة السفلية لـ \((\nu/2,\, x/2)\) مقسومة على \(\Gamma(\nu/2)\)، بينما \(Q = 1 - P\). نُجري جميع الحسابات في فضاء اللوغاريتمات، ونستخدم متسلسلة تمددية أو كسرًا مستمرًا (خوارزمية لينتز) لحساب دالة غاما الناقصة بدقة تامة وتجنّب الفيض العددي.
مثال محلول
لنأخذ \(\nu = 3\) و \(x = 2\): عندئذٍ \(a = \nu/2 = 1.5\) و \(z = x/2 = 1\). يبلغ الاحتمال التراكمي الأدنى \(P(2,3)\) نحو \(0.42759\)، ومن ثمّ تكون \(Q\) قرابة \(0.57241\). أما الكثافة فتساوي $$f(2,3) = \frac{2^{0.5} \cdot e^{-1}}{2^{1.5} \cdot \Gamma(1.5)} \approx 0.20755.$$
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون f لا نهائية عند x = 0 لقيم ν الصغيرة؟ عندما تكون \(\nu < 2\) تتباعد الكثافة نحو ما لا نهاية عند \(x = 0\)؛ وعندما تكون \(\nu = 2\) تساوي \(0.5\)؛ أما عندما تكون \(\nu > 2\) فتساوي الصفر عند تلك النقطة.
كيف أجد قيمة حرجة؟ اضبط الدالة على الاحتمال التراكمي الأدنى \(P\)، وجرّب قيمًا لـ \(x\) حتى يصل \(P\) إلى هدفك (على سبيل المثال، \(P = 0.95\) مع \(\nu = 1\) يعطي \(x \approx 3.8415\)).
هل الاحتمال التراكمي دقيق؟ نعم — فهو يعتمد على الصيغة المغلقة لدالة غاما الناقصة بدلًا من التكامل العددي، ما يجعل النتائج دقيقة حتى دقة الآلة الحاسوبية.
