Что такое распределение хи-квадрат?
Распределение хи-квадрат (\(\chi^2\)) описывает сумму квадратов независимых стандартных нормальных величин. Оно задаётся единственным параметром — числом степеней свободы \(\nu\) (греческая буква «ню») — и играет ключевую роль в проверке статистических гипотез, тестах на согласие, анализе таблиц сопряжённости и построении доверительных интервалов для дисперсии. Этот калькулятор вычисляет три связанные функции от \(x\) при заданном \(\nu\): плотность вероятности \(f\), нижнюю кумулятивную вероятность \(P(X \le x)\) и верхнюю кумулятивную вероятность \(Q(X > x)\).
Как пользоваться калькулятором
Выберите, какую функцию вы хотите получить в качестве основного результата, укажите число степеней свободы \(\nu\) (любое значение больше 0) и точку \(x\), в которой нужно произвести расчёт. Начальное значение \(x\), шаг и количество точек задают ряд \(x_k = \text{startX} + k\cdot\text{stepX}\), по которому строится таблица или график выбранной функции. Все величины безразмерны, поэтому переводить единицы измерения не требуется.
Разбор формулы
Плотность вычисляется по формуле $$f(\text{x};\,\nu) = \frac{\text{x}^{\,\frac{\nu}{2}-1}\,e^{-\frac{\text{x}}{2}}}{2^{\frac{\nu}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ при \(x \ge 0\). Кумулятивные вероятности используют регуляризованную неполную гамма-функцию: $$F(\text{x};\,\nu) = P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right) = \frac{\gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ \(P(x,\nu)\) равна нижней неполной гамма-функции от \((\nu/2,\, x/2)\), делённой на \(\Gamma(\nu/2)\), а \(Q = 1 - P\). $$Q(\text{x};\,\nu) = 1 - P\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\,\frac{\text{x}}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}$$ Все вычисления ведутся в логарифмическом пространстве, а для неполной гамма-функции применяется разложение в ряд или цепная дробь (алгоритм Ленца) — это даёт точный результат и исключает переполнение.
Пример расчёта
Пусть \(\nu = 3\) и \(x = 2\): тогда \(a = \nu/2 = 1.5\) и \(z = x/2 = 1\). Нижняя кумулятивная вероятность \(P(2,3)\) составляет примерно \(0.42759\), а значит, \(Q\) равно примерно \(0.57241\). Плотность принимает значение $$f(2,3) = \frac{2^{0.5} \cdot e^{-1}}{2^{1.5} \cdot \Gamma(1.5)} \approx 0.20755.$$
Часто задаваемые вопросы
Почему f стремится к бесконечности при x = 0 для малых nu? При \(\nu < 2\) плотность уходит в бесконечность в точке \(x = 0\); при \(\nu = 2\) она равна \(0.5\), а при \(\nu > 2\) обращается там в 0.
Как найти критическое значение? Установите функцию «нижняя кумулятивная вероятность P» и подбирайте значения \(x\), пока \(P\) не достигнет нужного уровня (например, при \(P = 0.95\) и \(\nu = 1\) получаем \(x \approx 3.8415\)).
Насколько точна кумулятивная вероятность? Точна — используется аналитическая неполная гамма-функция вместо численного интегрирования, поэтому результаты верны вплоть до машинной точности.
