Что считает этот калькулятор
F-распределение возникает всякий раз, когда сравнивают две дисперсии: например, в дисперсионном анализе (ANOVA), при проверке общей значимости регрессии и в F-критерии равенства дисперсий. Этот инструмент вычисляет F-распределение с числом степеней свободы числителя \(\nu_1\) и знаменателя \(\nu_2\) сразу по целому ряду значений \(x\) — так вы получаете и таблицу, и график за один шаг. Выберите одну из трёх функций: плотность вероятности \(f\), нижнюю накопленную вероятность \(P\) (функцию распределения, CDF) или верхнюю накопленную вероятность \(Q\) (функцию выживания, удобную для правосторонних p-значений).
Как пользоваться
Выберите нужную функцию. Введите два значения степеней свободы (оба должны быть больше 0). Затем задайте ряд: начальное значение \(x\) (\(x\) должен быть \(\ge 0\)), шаг между точками и количество итераций. Калькулятор формирует значения \(x_i = \text{initialX} + i \cdot \text{stepX}\) для \(i\) от 0 до \(\text{loopCount}-1\) и выводит выбранную функцию в каждой точке. При настройках по умолчанию (\(\nu_1 = 3\), \(\nu_2 = 5\), начало 0, шаг 0,1, 51 точка) \(x\) пробегает диапазон от 0 до 5.
Разбор формулы
В плотности используется бета-функция \(B(a,b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\). Чтобы сохранить численную устойчивость при больших степенях свободы, вычисления ведутся в логарифмах с использованием логарифма гамма-функции. У накопленной вероятности есть удобная замкнутая форма: \(P(x)\) равна регуляризованной неполной бета-функции \(I_z(\tfrac{\nu_1}{2}, \tfrac{\nu_2}{2})\), где \(z = \frac{\nu_1 x}{\nu_1 x + \nu_2}\). Верхний хвост находится просто: \(Q(x) = 1 - P(x)\). Неполную бета-функцию мы вычисляем стандартным методом цепных дробей.
$$f(x) = \frac{\sqrt{\dfrac{(\nu_1 x)^{\nu_1}\,\nu_2^{\nu_2}}{(\nu_1 x + \nu_2)^{\nu_1+\nu_2}}}}{x\,B\!\left(\tfrac{\nu_1}{2},\tfrac{\nu_2}{2}\right)}$$ $$F(x) = I_{\,z}\!\left(\tfrac{\nu_1}{2},\,\tfrac{\nu_2}{2}\right),\quad z = \frac{\nu_1 x}{\nu_1 x + \nu_2}$$
Разбор примера
При \(\nu_1 = 3\) и \(\nu_2 = 5\) в точке \(x = 1\): константа $$C = \frac{3^{1.5} \cdot 5^{2.5}}{B(1.5,\, 2.5)} = \frac{5.196152 \cdot 55.901699}{0.196350} = 1479{,}36.$$ Тогда $$f = \frac{1479{,}36 \cdot 1^{0.5}}{(5 + 3)^4} = \frac{1479{,}36}{4096} = 0{,}36117.$$ Для функции распределения \(z = \tfrac{3}{8} = 0{,}375\) даёт \(P = I_{0.375}(1.5, 2.5) = 0{,}5351\), откуда \(Q = 0{,}4649\).
Частые вопросы
Почему плотность уходит в бесконечность при x = 0? При \(\nu_1 < 2\) плотность не ограничена в точке \(x = 0\); при \(\nu_1 = 2\) она равна 1, а при \(\nu_1 > 2\) равна 0.
Какой диапазон x имеет смысл? Переменная \(F\) неотрицательна, поэтому начинайте с \(x = 0\) и продлевайте правый хвост достаточно далеко (часто до \(x = 5\text{–}10\)), чтобы охватить основную массу распределения.
Всегда ли существует среднее? Среднее \(\frac{\nu_2}{\nu_2-2}\) существует только при \(\nu_2 > 2\), а дисперсия — только при \(\nu_2 > 4\), хотя ни то, ни другое не требуется для вычисления самих функций.
