Что такое распределение Коши?
Распределение Коши, также известное как распределение Лоренца, — это непрерывное распределение вероятностей, которое задаётся параметром положения a (медиана и положение пика) и параметром масштаба b > 0 (полуширина на половине высоты). Оно знаменито своими «тяжёлыми хвостами»: у него нет ни конечного математического ожидания, ни конечной дисперсии. Этот калькулятор вычисляет значения распределения для последовательности точек x, чтобы вы могли получить готовую таблицу пар (x, значение) для построения графика.
Как пользоваться калькулятором
Выберите функцию: плотность вероятности f, нижнюю кумулятивную вероятность P или верхнюю кумулятивную вероятность Q. Укажите параметр положения a и параметр масштаба b (он должен быть положительным). Затем задайте последовательность x: начальное значение, шаг приращения и количество точек. k-е значение вычисляется по формуле \(x_k = x_{\text{Initial}} + k \cdot x_{\text{Step}}\) для k от 0 до count-1. По умолчанию x изменяется от −5 до +5 с шагом 0,1 (101 точка).
Формулы
Обозначим \(z = (x - a) / b\). Плотность равна
$$f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\text{Scale } b}{\left(x - \text{Location } a\right)^2 + \text{Scale } b^2}$$что эквивалентно \(\dfrac{1}{\pi b (1 + z^2)}\). Нижняя функция распределения:
$$P(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan\!\left(\frac{x - \text{Location } a}{\text{Scale } b}\right)$$а верхняя функция (функция выживания):
$$Q(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\arctan\!\left(\frac{x - \text{Location } a}{\text{Scale } b}\right)$$Поскольку arctan всегда лежит в интервале \((-\pi/2, \pi/2)\), и P, и Q строго заключены между 0 и 1.
Разобранный пример
Пусть \(a = 0\), \(b = 0{,}7\). Вычислим плотность при \(x = 1\): \((x-a)^2 + b^2 = 1 + 0{,}49 = 1{,}49\), поэтому
$$f = \frac{1}{\pi}\left(\frac{0{,}7}{1{,}49}\right) \approx 0{,}14954$$Для нижней кумулятивной вероятности в той же точке: \(\arctan(1/0{,}7) = 0{,}96007\), значит
$$P = 0{,}5 + \frac{0{,}96007}{\pi} \approx 0{,}80559$$а \(Q = 1 - 0{,}80559 = 0{,}19441\). В точке пика \(x = a\) имеем \(f = 1/(\pi b)\) и \(P = Q = 0{,}5\).
Частые вопросы
Почему параметр b должен быть положительным? При неположительном масштабе плотность и функция распределения не определены (нулевая или отрицательная ширина), поэтому калькулятор ограничивает b малым положительным значением.
Почему не показано среднее значение? У распределения Коши среднее и дисперсия не определены из-за тяжёлых хвостов; этот инструмент выдаёт только поточечную плотность и хвостовые вероятности.
Что находится в столбце «значение»? Это выбранная функция (f, P или Q), вычисленная в каждой точке x и готовая к построению графика, где x откладывается по горизонтальной оси.
