¿Qué es la distribución de Cauchy?
La distribución de Cauchy, también conocida como distribución de Lorentz, es una distribución de probabilidad continua que se define mediante un parámetro de localización a (la mediana y la posición del pico) y un parámetro de escala b > 0 (la semianchura a media altura). Es célebre por sus colas pesadas: no tiene media ni varianza finitas. Esta calculadora evalúa la distribución sobre una secuencia de valores de x para que puedas construir una tabla de pares (x, valor) lista para representar gráficamente.
Cómo usar esta calculadora
Elige una función: densidad de probabilidad f, probabilidad acumulada inferior P o probabilidad acumulada superior Q. Introduce la localización a y la escala b (que debe ser positiva). A continuación, define la secuencia de x con un valor inicial, un incremento de paso y el número de puntos. El valor k-ésimo de x es x_k = xInicial + k * xPaso para k = 0 hasta count-1. Por defecto, x recorre de -5 a +5 en pasos de 0,1 (101 puntos).
Las fórmulas
Sea \(z = (x - a) / b\). La densidad es $$f = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{b}{(x-a)^2 + b^2},$$ o de forma equivalente \(\frac{1}{\pi b (1 + z^2)}\). La función de distribución acumulada inferior es $$P = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan(z),$$ y la función superior (de supervivencia) es $$Q = 1 - P = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\arctan(z).$$ Como arctan se mantiene dentro de \((-\pi/2, \pi/2)\), tanto P como Q permanecen estrictamente entre 0 y 1.
Ejemplo resuelto
Con \(a = 0\) y \(b = 0{,}7\), evaluamos la densidad en \(x = 1\): \((x-a)^2 + b^2 = 1 + 0{,}49 = 1{,}49\), de modo que $$f = \frac{1}{\pi}\left(\frac{0{,}7}{1{,}49}\right) \approx 0{,}14954.$$ Para la acumulada inferior en ese mismo punto, \(\arctan(1/0{,}7) = 0{,}96007\), así que \(P = 0{,}5 + 0{,}96007/\pi \approx 0{,}80559\), y \(Q = 1 - 0{,}80559 = 0{,}19441\). En el pico \(x = a\), se cumple que \(f = 1/(\pi b)\) y \(P = Q = 0{,}5\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué b debe ser positivo? Una escala no positiva deja la densidad y la CDF sin definir (anchura nula o negativa), por lo que la calculadora ajusta b a un valor positivo muy pequeño.
¿Por qué no se muestra la media? La distribución de Cauchy tiene media y varianza indefinidas debido a sus colas pesadas; esta herramienta solo ofrece la densidad puntual y las probabilidades de cola.
¿Qué es la columna «valor»? Es la función elegida (f, P o Q) evaluada en cada x, lista para representar con x en el eje horizontal.
