Qué hace esta calculadora
Esta herramienta evalúa y representa la distribución t de Student para cualquier número de grados de libertad \(\nu > 0\). Puedes elegir entre tres magnitudes: la densidad de probabilidad f(x,ν), la probabilidad acumulada inferior P(x,ν) (la función de distribución o CDF) o la probabilidad acumulada superior Q(x,ν) = 1 − P. La calculadora genera una tabla de pares (x, valor) a lo largo del rango que definas y los lleva a un gráfico de líneas.
Cómo usarla
Elige la función (densidad, inferior o superior). Introduce los grados de libertad ν. A continuación, fija el valor inicial de x, el incremento (paso) entre puntos consecutivos y el número de repeticiones (cuántos puntos quieres generar). Los puntos se calculan como \(x_k = x_{\text{Inicial}} + k\cdot\text{paso}\), con \(k = 0..\text{repeticiones}-1\). Con los valores por defecto (inicio −5, paso 0,1 y 101 puntos), x recorre desde −5 hasta +5.
La fórmula explicada
La densidad es $$f(x,\nu) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1+\frac{x^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}.$$ Para mantener la estabilidad numérica cuando ν es grande, evaluamos los factores gamma mediante la función logaritmo-gamma. La probabilidad acumulada emplea la función beta incompleta regularizada \(I_z(\nu/2, 1/2)\) con \(z = \nu/(\nu+x^{2})\): para \(x \ge 0\), \(P = 1 - \tfrac{1}{2}I_z\); para \(x < 0\), \(P = \tfrac{1}{2}I_z\). Por simetría, \(P(0,\nu) = 0{,}5\).
Ejemplo resuelto
Para la densidad con \(\nu = 2\) en \(x = 0\): \((1 + 0/2)^{-1{,}5} = 1\) y \(B(1/2, 1) = 2\), de modo que $$f(0,2) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 2} = 0{,}353553.$$ Para la acumulada inferior con \(\nu = 2\) en \(x = 0\), la distribución es simétrica, así que \(P(0,2) = 0{,}5\) y \(Q(0,2) = 0{,}5\).
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre a medida que crece ν? La distribución t se aproxima a la normal estándar N(0,1); por ejemplo, \(f(0,\nu)\) tiende a \(1/\sqrt{2\pi} \approx 0{,}39894\).
¿Puede ser negativo el incremento? Sí. Un paso negativo hace que x disminuya; un paso de cero repite siempre el mismo valor de x.
¿Por qué ν debe ser positivo? Los factores \(\sqrt{\nu}\) y \(\Gamma(\nu/2)\) exigen que \(\nu > 0\); los valores no positivos no están definidos para esta distribución.
