ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة حساب ورسم توزيع ستيودنت t لأي درجات حرية \(\nu > 0\). يمكنك اختيار إحدى ثلاث كميات: دالة الكثافة الاحتمالية \(f(x,\nu)\)، أو الاحتمال التراكمي الأدنى \(P(x,\nu)\) (وهو الدالة التراكمية CDF)، أو الاحتمال التراكمي الأعلى \(Q(x,\nu) = 1 - P\). تُنشئ الحاسبة جدولاً من الأزواج (x، القيمة) عبر مدى تحدده أنت، ثم تعرضها على شكل رسم بياني خطي.
طريقة الاستخدام
اختر أولاً الدالة المطلوبة (الكثافة، أو التراكمي الأدنى، أو التراكمي الأعلى). ثم أدخل درجات الحرية \(\nu\). بعد ذلك حدّد قيمة البداية لـ \(x\)، ومقدار الزيادة (الخطوة) بين كل نقطة والتي تليها، وعدد التكرارات (أي كم نقطة تريد توليدها). تُحسب النقاط وفق العلاقة $$x_k = \text{startX} + k\cdot\text{stepX}$$ حيث \(k = 0..\text{iterations}-1\). وبالقيم الافتراضية (البداية \(-5\)، الخطوة \(0.1\)، 101 نقطة) يمتد \(x\) من \(-5\) إلى \(+5\).
شرح المعادلة
دالة الكثافة هي $$f(x,\nu) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1+\frac{x^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$ وللحفاظ على الاستقرار العددي عند القيم الكبيرة لـ \(\nu\)، نحسب معاملات دالة غاما عبر دالة لوغاريتم غاما (log-gamma). أما الاحتمال التراكمي فيستخدم دالة بيتا الناقصة المنظَّمة \(I_z(\nu/2, 1/2)\) حيث \(z = \nu/(\nu+x^2)\): فعندما \(x \ge 0\) يكون \(P = 1 - \tfrac{1}{2}I_z\)، وعندما \(x < 0\) يكون \(P = \tfrac{1}{2}I_z\). وبحكم التماثل فإن \(P(0,\nu) = 0.5\).
مثال محلول
لحساب الكثافة عند \(\nu = 2\) و \(x = 0\): نجد أن \((1 + 0/2)^{-1.5} = 1\)، وأن \(B(1/2, 1) = 2\)، ومن ثم $$f(0,2) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 2} = 0.353553$$ أما التراكمي الأدنى عند \(\nu = 2\) و \(x = 0\)، فالتوزيع متماثل، لذلك \(P(0,2) = 0.5\) و \(Q(0,2) = 0.5\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث كلما زادت \(\nu\)؟ يقترب توزيع t من التوزيع الطبيعي القياسي \(N(0,1)\)؛ فمثلاً تؤول \(f(0,\nu)\) إلى \(1/\sqrt{2\pi} \approx 0.39894\).
هل يمكن أن تكون الزيادة سالبة؟ نعم. الخطوة السالبة تجعل \(x\) يتناقص، بينما الخطوة الصفرية تكرر القيمة نفسها لـ \(x\).
لماذا يُشترط أن تكون \(\nu\) موجبة؟ لأن المعاملين \(\sqrt{\nu}\) و \(\Gamma(\nu/2)\) يتطلبان \(\nu > 0\)؛ فالقيم غير الموجبة غير معرَّفة لهذا التوزيع.
