ماذا تفعل هذه الحاسبة
تقوم حاسبة رسم توزيع جاما بتقييم توزيع جاما عبر شبكة من قيم x، وتعيد عند كل نقطة ثلاث كميات مترابطة: كثافة الاحتمال \(f(x)\)، والاحتمال التراكمي السفلي \(P(x)\)، والاحتمال التراكمي العلوي (دالة البقاء) \(Q(x)\). توزيع جاما توزيع متصل معرَّف عند \(x > 0\)، ويُستخدم على نطاق واسع في هندسة الموثوقية، ونماذج صفوف الانتظار، ونمذجة هطول الأمطار، والإحصاء البايزي. تعتمد الحاسبة على معاملة المقياس (الشكل \(a\)، المقياس \(b\)) وليس معاملة المعدل.
المدخلات التي تُدخلها
- اختيار الدالة — حدّد المنحنى الذي تريد حسابه: الكثافة \(f\)، أو التراكمي السفلي \(P\)، أو التراكمي العلوي \(Q\).
- معامل الشكل \(a\) — يجب أن يكون موجبًا؛ يتحكم في التواء المنحنى وذروته.
- معامل المقياس \(b\) — يجب أن يكون موجبًا؛ يمدّ التوزيع على طول المحور x (المتوسط = \(a\cdot b\)).
- القيمة الابتدائية لـ x — نقطة بداية الشبكة.
- مقدار الزيادة (الخطوة) لـ x — المسافة بين كل قيمتَي x متتاليتين.
- عدد التكرارات (النقاط) — عدد نقاط الشبكة المطلوب توليدها (بحد أقصى 10,000).
إذا كانت \(a\) أو \(b\) غير موجبة فإنها تُضبط إلى قيمة متناهية الصغر، وإذا كانت الخطوة ≤ 0 فتُعتمد القيمة الافتراضية 0.1، ويُجبَر عدد النقاط على الوقوع ضمن النطاق 1–10,000.
المعادلة
دالة كثافة الاحتمال هي:
$$f(x) = \frac{x^{\,a-1}\,e^{-x/b}}{b^{\,a}\,\Gamma(a)}$$الاحتمال التراكمي السفلي \(P(x)\) هو دالة جاما الناقصة المنظَّمة \(P(a, x/b)\)، وتُحسب عبر متسلسلة عندما يكون \(x/b < a+1\) وعبر كسر مستمر فيما عدا ذلك. أما التراكمي العلوي (البقاء) فهو \(Q(x) = 1 - P(x)\). ويُحصَل على دالة جاما \(\Gamma(a)\) من تقريب لانكزوس (Lanczos) بالصيغة اللوغاريتمية لضمان الاستقرار العددي.
مثال محلول
لنفترض أن \(a = 2\)، \(b = 1\)، وقيمة x الابتدائية = 0، والخطوة = 1، وعدد النقاط = 4 (\(x = 0, 1, 2, 3\)). الكثافة عند \(x = 2\) هي $$f = \frac{2^{1}\cdot e^{-2}}{\Gamma(2)\cdot 1} = \frac{2\cdot 0.1353}{1} = 0.2707.$$ والاحتمال التراكمي السفلي عند \(x = 2\) هو \(P(2, 2) \approx 0.5940\)، وبالتالي احتمال البقاء \(Q(2) \approx 0.4060\). تُعيد كل نقطة في الشبكة هذه القيم جاهزة للرسم كمنحنى سلس.
الأسئلة الشائعة
هل تستخدم الحاسبة المقياس أم المعدل؟ تستخدم معامل المقياس \(b\). وإذا كان لديك معدل \(\lambda\) بدلًا منه، فاضبط \(b = 1/\lambda\).
ما الفرق بين P وQ؟ \(P(x)\) هو احتمال أن يكون المتغير أصغر من أو يساوي x (تراكمي من اليسار)؛ أما \(Q(x) = 1 - P(x)\) فهو احتمال تجاوز x، ويُسمى غالبًا دالة البقاء.
لماذا يجب أن تكون a وb موجبتين؟ توزيع جاما معرَّف فقط عند قيم موجبة للشكل والمقياس. تُستبدل القيم غير الموجبة بقيمة قريبة من الصفر لتجنّب الأخطاء، لكن ينبغي إدخال أرقام موجبة صحيحة للحصول على نتائج ذات معنى.
