Gama Dağılımı Grafik Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

Fonksiyon seçimi Probability density f Lower cumulative probability P Upper cumulative probability Q

Şekil parametresi a

Ölçek parametresi b

x'in başlangıç değeri

x artış miktarı (adım)

Tekrar sayısı (nokta)

Sonuç

Values at first grid point x = 0

0

Olasılık yoğunluğu f(x)

Gamma distribution, shape a = 3, scale b = 1 · 101 points

x	f(x)	P(x)	Q(x)
0	0	0	1
0,1	0,004524	0,000155	0,999845
0,2	0,016375	0,001148	0,998852
0,3	0,033337	0,003599	0,996401
0,4	0,053626	0,007926	0,992074
0,5	0,075816	0,014388	0,985612
0,6	0,098786	0,023115	0,976885
0,7	0,121663	0,034142	0,965858
0,8	0,143785	0,047423	0,952577
0,9	0,164661	0,062857	0,937143
1	0,18394	0,080301	0,919699
1,1	0,201387	0,099584	0,900416
1,2	0,21686	0,120513	0,879487
1,3	0,230289	0,142888	0,857112
1,4	0,241665	0,166502	0,833498
1,5	0,251021	0,191153	0,808847
1,6	0,258428	0,216642	0,783358
1,7	0,263978	0,242777	0,757223
1,8	0,267784	0,269379	0,730621
1,9	0,269971	0,29628	0,70372
2	0,270671	0,323324	0,676676
2,1	0,270016	0,350369	0,649631
2,2	0,268144	0,377286	0,622714
2,3	0,265185	0,403961	0,596039
2,4	0,261268	0,430291	0,569709
2,5	0,256516	0,456187	0,543813
2,6	0,251045	0,48157	0,51843
2,7	0,244964	0,506376	0,493624
2,8	0,238375	0,530546	0,469454
2,9	0,231373	0,554037	0,445963
3	0,224042	0,57681	0,42319
3,1	0,216461	0,598837	0,401163
3,2	0,208702	0,620096	0,379904
3,3	0,200829	0,640574	0,359426
3,4	0,192898	0,66026	0,33974
3,5	0,184959	0,679153	0,320847
3,6	0,177058	0,697253	0,302747
3,7	0,169233	0,714567	0,285433
3,8	0,161517	0,731103	0,268897
3,9	0,15394	0,746875	0,253125
4	0,146525	0,761897	0,238103
4,1	0,139293	0,776186	0,223814
4,2	0,132261	0,789762	0,210238
4,3	0,125441	0,802645	0,197355
4,4	0,118845	0,814858	0,185142
4,5	0,112479	0,826422	0,173578
4,6	0,106348	0,837361	0,162639
4,7	0,100457	0,8477	0,1523
4,8	0,094807	0,857461	0,142539
4,9	0,089396	0,866669	0,133331
5	0,084224	0,875348	0,124652
5,1	0,079288	0,883522	0,116478
5,2	0,074584	0,891213	0,108787
5,3	0,070107	0,898446	0,101554
5,4	0,065852	0,905242	0,094758
5,5	0,061812	0,911624	0,088376
5,6	0,057983	0,917612	0,082388
5,7	0,054355	0,923227	0,076773
5,8	0,050923	0,928489	0,071511
5,9	0,04768	0,933418	0,066582
6	0,044618	0,938031	0,061969
6,1	0,041729	0,942347	0,057653
6,2	0,039006	0,946382	0,053618
6,3	0,036441	0,950154	0,049846
6,4	0,034029	0,953676	0,046324
6,5	0,03176	0,956964	0,043036
6,6	0,029629	0,960032	0,039968
6,7	0,027628	0,962894	0,037106
6,8	0,02575	0,965562	0,034438
6,9	0,02399	0,968048	0,031952
7	0,022341	0,970364	0,029636
7,1	0,020797	0,97252	0,02748
7,2	0,019352	0,974526	0,025474
7,3	0,018	0,976393	0,023607
7,4	0,016736	0,978129	0,021871
7,5	0,015555	0,979743	0,020257
7,6	0,014453	0,981243	0,018757
7,7	0,013424	0,982636	0,017364
7,8	0,012464	0,98393	0,01607
7,9	0,011569	0,985131	0,014869
8	0,010735	0,986246	0,013754
8,1	0,009958	0,98728	0,01272
8,2	0,009234	0,988239	0,011761
8,3	0,00856	0,989129	0,010871
8,4	0,007933	0,989953	0,010047
8,5	0,00735	0,990717	0,009283
8,6	0,006808	0,991424	0,008576
8,7	0,006304	0,99208	0,00792
8,8	0,005836	0,992686	0,007314
8,9	0,005402	0,993248	0,006752
9	0,004998	0,993768	0,006232
9,1	0,004624	0,994249	0,005751
9,2	0,004276	0,994693	0,005307
9,3	0,003954	0,995105	0,004895
9,4	0,003655	0,995485	0,004515
9,5	0,003378	0,995836	0,004164
9,6	0,003121	0,996161	0,003839
9,7	0,002883	0,996461	0,003539
9,8	0,002663	0,996738	0,003262
9,9	0,002459	0,996994	0,003006
10	0,00227	0,997231	0,002769

Bu hesaplayıcı ne işe yarar?

Gama Dağılımı Grafik Hesaplayıcı, Gama dağılımını bir x-değerleri ızgarası boyunca değerlendirir ve her noktada birbiriyle ilişkili üç değeri döndürür: olasılık yoğunluğu \(f(x)\), alt kümülatif olasılık \(P(x)\) ve üst kümülatif (sağkalım) olasılığı \(Q(x)\). Gama dağılımı, \(x > 0\) için tanımlı sürekli bir dağılımdır ve güvenilirlik mühendisliği, kuyruk modelleri, yağış modellemesi ve Bayes istatistiğinde yaygın olarak kullanılır. Hesaplayıcı, oran (rate) parametrelemesini değil, ölçek parametrelemesini (şekil \(a\), ölçek \(b\)) kullanır.

Gamma dağılımının PDF \(f(x)\), alt birikimli \(P(x)\) ve üst birikimli \(Q(x)\) fonksiyonları.

Girmeniz gereken değerler

• Fonksiyon seçimi — hangi eğrinin hesaplanacağını seçin: yoğunluk \(f\), alt kümülatif \(P\) veya üst kümülatif \(Q\).
• Şekil parametresi a — pozitif olmalıdır; eğrinin çarpıklığını ve tepe noktasını belirler.
• Ölçek parametresi b — pozitif olmalıdır; dağılımı x ekseni boyunca genişletir (ortalama = \(a\cdot b\)).
• x'in başlangıç değeri — ızgaranın başlangıç noktası.
• x artış miktarı (adım) — ardışık x-değerleri arasındaki aralık.
• Tekrar sayısı (nokta) — kaç ızgara noktası oluşturulacağı (en fazla 10.000).

a veya b pozitif değilse çok küçük bir değere sabitlenir, adım ≤ 0 ise varsayılan olarak 0,1 kullanılır ve nokta sayısı 1–10.000 aralığına zorlanır.

Reklam

Şekil parametresi a ve ölçek parametresi b Gamma yoğunluk eğrisini nasıl değiştirir.

Formül

Olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir:

$$f(x) = \frac{x^{\,a-1}\,e^{-x/b}}{b^{\,a}\,\Gamma(a)}$$

Alt kümülatif \(P(x)\), düzenlenmiş tamamlanmamış gama fonksiyonu \(P(a, x/b)\)'dir; \(x/b < a+1\) olduğunda bir seri açılımıyla, aksi halde bir sürekli kesirle hesaplanır. Üst kümülatif (sağkalım) değeri \(Q(x) = 1 - P(x)\)'tir. Gama fonksiyonu \(\Gamma(a)\), sayısal kararlılık için logaritmik biçimdeki Lanczos yaklaşımıyla elde edilir.

Çözümlü örnek

\(a = 2\), \(b = 1\), başlangıç \(x = 0\), adım \(= 1\) ve 4 nokta (\(x = 0, 1, 2, 3\)) olduğunu varsayalım. \(x = 2\)'deki yoğunluk $$f = \frac{2^{1}\cdot e^{-2}}{\Gamma(2)\cdot 1} = \frac{2\cdot 0{,}1353}{1} = 0{,}2707$$dir. \(x = 2\)'deki alt kümülatif değer \(P(2, 2) \approx 0{,}5940\) olduğundan, sağkalım olasılığı \(Q(2) \approx 0{,}4060\)'tır. Her ızgara noktası bu değerleri döndürür ve düzgün bir eğri olarak çizilmeye hazırdır.

Sık sorulan sorular

Ölçek mi yoksa oran mı kullanılıyor? Ölçek parametresi \(b\) kullanılır. Bunun yerine bir \(\lambda\) oranınız varsa \(b = 1/\lambda\) olarak ayarlayın.

P ile Q arasındaki fark nedir? \(P(x)\), değişkenin en fazla \(x\) olması olasılığıdır (soldan kümülatif); \(Q(x) = 1 - P(x)\) ise değişkenin \(x\)'i aşması olasılığıdır ve sıklıkla sağkalım fonksiyonu olarak adlandırılır.

a ve b neden pozitif olmalı? Gama dağılımı yalnızca pozitif şekil ve ölçek için tanımlıdır. Pozitif olmayan girdiler hataları önlemek için sıfıra yakın bir değerle değiştirilir, ancak anlamlı sonuçlar için geçerli pozitif sayılar girmeniz gerekir.