Cauchy dağılımı nedir?
Cauchy dağılımı (Lorentz veya Cauchy-Lorentz dağılımı olarak da bilinir), iki parametreyle tanımlanan sürekli bir olasılık dağılımıdır: eğrinin tepe noktasını ve medyanını temsil eden konum parametresi \(x_0\) ile yarı yükseklikteki yarı genişliği veren pozitif ölçek parametresi gama. Bu dağılım, ağır kuyruklarıyla ünlüdür: normal dağılımın aksine, Cauchy dağılımının tanımlı bir ortalaması ya da varyansı yoktur. Standart (kanonik) Cauchy dağılımında \(x_0 = 0\) ve gama \(= 1\) alınır; bu da bir serbestlik dereceli Student t-dağılımıyla birebir aynıdır. Bu hesaplama aracı tamamen matematikseldir ve her yerde aynı şekilde geçerlidir.
Bu aracı nasıl kullanırsınız?
Dağılımı değerlendirmek istediğiniz x yüzdelik noktasını, konum parametresi \(x_0\)'ı ve ölçek parametresi gamayı (sıfırdan büyük olmalıdır) girin. Araç; olasılık yoğunluğu \(f(x)\), alt kümülatif olasılık \(P(X \le x)\) ve üst kümülatif olasılık \(P(X > x)\) değerlerini döndürür. Standart Cauchy dağılımı için \(x_0 = 0\) ve gama \(= 1\) değerlerini olduğu gibi bırakın.
Formülün açıklaması
Önce standartlaştırılmış değeri tanımlayın: \(z = (x - x_0) / \gamma\). Olasılık yoğunluğu $$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot \gamma \cdot (1 + z^2)}$$ şeklindedir; bu da $$f(x) = \frac{\gamma}{\pi\left[\left(x - x_0\right)^2 + \gamma^2\right]}$$ ifadesine eşittir. Kümülatif dağılım fonksiyonu $$F(x) = 0{,}5 + \frac{1}{\pi} \cdot \arctan(z)$$ olup alt kümülatif olasılığı verir; üst kümülatif olasılık ise basitçe \(1 - F(x)\)'tir. arctan fonksiyonu \((-\pi/2, \pi/2)\) aralığında değerler döndürdüğünden, kümülatif olasılık her zaman kesinlikle 0 ile 1 arasında yer alır.
Örnek hesaplama
\(x = 1\), \(x_0 = 0\), gama \(= 1\) alalım. Bu durumda \(z = 1\) olur. Yoğunluk $$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot 2} = 0{,}159155$$ olarak bulunur. \(\arctan(1) = 0{,}785398\) olduğundan alt kümülatif olasılık $$0{,}5 + \frac{1}{\pi} \cdot 0{,}785398 = 0{,}75$$ ve üst kümülatif olasılık \(0{,}25\) olur.
Sıkça sorulan sorular
Ortalama ve varyans neden gösterilmiyor? Cauchy dağılımının kuyrukları o kadar ağırdır ki ortalaması ve varyansı matematiksel olarak tanımsızdır; dolayısıyla bunları göstermek anlamsız olurdu.
Tepe noktası nasıl görünür? \(x = x_0\) noktasında yoğunluk maksimum değeri olan \(1 / (\pi \cdot \gamma)\) değerine ulaşır ve her iki kümülatif olasılık da \(0{,}5\)'e eşittir.
Gama sıfır ya da negatifse ne olur? Ölçek parametresi kesinlikle pozitif olmalıdır; pozitif olmayan bir gama değeri dağılımı tanımsız hale getirir ve bu nedenle kabul edilmez.
