Phân phối Cauchy là gì?
Phân phối Cauchy (còn được gọi là phân phối Lorentz hay Cauchy-Lorentz) là một phân phối xác suất liên tục được xác định bởi hai tham số: tham số vị trí \(x_0\) chính là đỉnh và trung vị của đường cong, cùng tham số tỷ lệ dương \(\gamma\) là nửa độ rộng tại nửa giá trị cực đại. Phân phối này nổi tiếng với phần đuôi nặng: khác với phân phối chuẩn, phân phối Cauchy không có kỳ vọng (trung bình) hay phương sai xác định. Phân phối Cauchy chuẩn (dạng chính tắc) dùng \(x_0 = 0\) và \(\gamma = 1\), và trùng khớp với phân phối Student t có một bậc tự do. Công cụ này thuần túy toán học nên áp dụng giống hệt ở mọi nơi.
Cách sử dụng máy tính
Nhập điểm phân vị \(x\) mà bạn muốn đánh giá phân phối, tham số vị trí \(x_0\) và tham số tỷ lệ \(\gamma\) (phải lớn hơn 0). Máy tính sẽ trả về mật độ xác suất \(f(x)\), xác suất tích lũy dưới \(P(X \le x)\) và xác suất tích lũy trên \(P(X > x)\). Đối với phân phối Cauchy chuẩn, hãy để \(x_0 = 0\) và \(\gamma = 1\).
Giải thích công thức
Trước tiên, hãy xác định giá trị chuẩn hóa \(z = (x - x_0) / \gamma\). Mật độ xác suất là
$$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot \gamma \cdot (1 + z^2)}$$tương đương với
$$f(x) = \frac{\gamma}{\pi\left[\left(x - x_0\right)^2 + \gamma^2\right]}$$Hàm phân phối tích lũy là
$$F(x) = 0{,}5 + \frac{1}{\pi} \cdot \arctan(z)$$cho ra xác suất tích lũy dưới, còn xác suất tích lũy trên đơn giản là \(1 - F(x)\). Vì arctan trả về các giá trị trong khoảng \((-\pi/2, \pi/2)\), nên xác suất tích lũy luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1.
Ví dụ minh họa
Lấy \(x = 1\), \(x_0 = 0\), \(\gamma = 1\). Khi đó \(z = 1\). Mật độ là
$$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot 2} = 0{,}159155$$\(\arctan(1) = 0{,}785398\), do đó xác suất tích lũy dưới là
$$0{,}5 + \frac{1}{\pi} \cdot 0{,}785398 = 0{,}75$$và xác suất tích lũy trên là \(0{,}25\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao không hiển thị giá trị trung bình và phương sai? Phân phối Cauchy có phần đuôi nặng đến mức kỳ vọng và phương sai của nó không xác định về mặt toán học, nên việc hiển thị chúng sẽ vô nghĩa.
Đỉnh của phân phối trông như thế nào? Tại \(x = x_0\), mật độ đạt giá trị lớn nhất là \(\frac{1}{\pi \cdot \gamma}\), và cả hai xác suất tích lũy đều bằng \(0{,}5\).
Nếu gamma bằng 0 hoặc âm thì sao? Tham số tỷ lệ bắt buộc phải dương; \(\gamma\) không dương khiến phân phối không xác định và sẽ bị từ chối.
