코시 분포란?
코시 분포(로렌츠 분포 또는 코시-로렌츠 분포라고도 합니다)는 두 개의 모수로 정의되는 연속확률분포입니다. 하나는 곡선의 정점이자 중앙값에 해당하는 위치 모수 \(x_0\)이고, 다른 하나는 최댓값 절반 지점에서의 반너비(half-width at half-maximum)를 나타내는 양수 척도 모수 \(\gamma\)입니다. 코시 분포는 두꺼운 꼬리(heavy tails)로 유명합니다. 정규분포와 달리 코시 분포는 평균이나 분산이 정의되지 않습니다. 표준(정준) 코시 분포는 \(x_0 = 0\), \(\gamma = 1\)을 사용하며, 자유도가 1인 스튜던트 t-분포와 완전히 동일합니다. 이 계산기는 순수한 수학에 기반하므로 국가나 지역과 관계없이 어디서나 동일하게 적용됩니다.
계산기 사용 방법
분포를 평가하려는 백분위 지점 \(x\), 위치 모수 \(x_0\), 그리고 척도 모수 \(\gamma\)(반드시 0보다 커야 합니다)를 입력하세요. 계산기는 확률밀도 \(f(x)\), 하측 누적확률 \(P(X \le x)\), 상측 누적확률 \(P(X > x)\)를 반환합니다. 표준 코시 분포를 사용하려면 \(x_0 = 0\), \(\gamma = 1\)로 두면 됩니다.
공식 설명
먼저 표준화된 값 \(z = (x - x_0) / \gamma\)를 정의합니다. 확률밀도는 $$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot \gamma \cdot (1 + z^2)}$$이며, 이는 \(\dfrac{\gamma}{\pi \cdot ((x - x_0)^2 + \gamma^2)}\)와 같습니다. 누적분포함수는 $$F(x) = 0.5 + \frac{1}{\pi} \cdot \arctan(z)$$로, 이것이 하측 누적확률이 됩니다. 상측 누적확률은 단순히 \(1 - F(x)\)입니다. arctan은 \((-\pi/2, \pi/2)\) 범위의 값을 반환하므로 누적확률은 항상 0과 1 사이에 엄격히 위치합니다.
계산 예시
\(x = 1\), \(x_0 = 0\), \(\gamma = 1\)이라고 합시다. 그러면 \(z = 1\)입니다. 확률밀도는 $$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot 2} = 0.159155$$입니다. \(\arctan(1) = 0.785398\)이므로 하측 누적확률은 $$0.5 + \frac{1}{\pi} \cdot 0.785398 = 0.75$$이고, 상측 누적확률은 \(0.25\)입니다.
자주 묻는 질문
왜 평균과 분산은 표시되지 않나요? 코시 분포는 꼬리가 너무 두꺼워서 평균과 분산이 수학적으로 정의되지 않습니다. 따라서 이를 표시하더라도 아무런 의미가 없습니다.
정점은 어떤 모습인가요? \(x = x_0\)일 때 확률밀도는 최댓값 \(\dfrac{1}{\pi \cdot \gamma}\)에 도달하며, 두 누적확률은 모두 \(0.5\)가 됩니다.
γ가 0이거나 음수이면 어떻게 되나요? 척도 모수는 반드시 양수여야 합니다. 0 이하의 \(\gamma\)는 분포를 정의할 수 없게 만들므로 입력값으로 허용되지 않습니다.
