F분포 계산기란?
이 도구는 입력한 백분위 점 x와 두 개의 자유도(분자 자유도 v1, 분모 자유도 v2)에 대해 F분포(피셔–스네데커 분포)를 계산합니다. 결과로는 확률밀도 f(x), 하측 누적확률 \(P(X \le x)\), 그리고 상측(꼬리) 확률 \(P(X > x)\)을 제공합니다. F분포는 통계학 전반에서 두루 쓰이는 표준 분포로, 국가별 가정이 전혀 없으며 어디서나 동일하게 적용됩니다.
사용 방법
백분위 점 x(0 이상), 분자 자유도 v1(0보다 큼), 분모 자유도 v2(0보다 큼)를 각각 입력하세요. 두 자유도 모두 정수가 아니어도 됩니다. 계산기는 확률밀도와 두 가지 누적확률을 반환하며, 이때 하측 확률과 상측 확률의 합은 항상 1이 됩니다.
공식 설명
확률밀도는 $$f(x) = \frac{\sqrt{\dfrac{(v_1\,x)^{v_1}\,v_2^{\,v_2}}{(v_1\,x + v_2)^{v_1+v_2}}}}{x \cdot B\!\left(\dfrac{v_1}{2},\dfrac{v_2}{2}\right)}$$ 로 정의되며, 여기서 B는 베타 함수, \(d_1 = v_1\), \(d_2 = v_2\)입니다. 누적분포는 정규화 불완전 베타 함수를 사용해 $$P(X \le x) = I_{z}\!\left(\frac{v_1}{2},\,\frac{v_2}{2}\right),\qquad z = \frac{v_1\,x}{v_1\,x + v_2}$$ 로 계산하고, 이때 \(z = \dfrac{d_1\cdot x}{d_1\cdot x + d_2}\) 입니다. 로그 감마 값은 란초스(Lanczos) 근사로, 불완전 베타 함수는 연분수 전개(렌츠 방법, Lentz's method)로 계산합니다.
계산 예시
x = 1, v1 = 2, v2 = 1인 경우를 살펴보겠습니다. \(B(1, 0.5) = 2\) 이므로 $$f(1) = \frac{2^1 \cdot 1^0 \cdot 3^{-1.5}}{2} = 3^{-1.5} \approx 0.19245$$ 입니다. 누적분포의 경우 \(z = 2/3\) 이고, \(I_{2/3}(1, 0.5) = 1 - (1/3)^{0.5} \approx 0.42265\) 이므로 \(P(X > 1) \approx 0.57735\) 가 됩니다.
자주 묻는 질문
자유도에 소수를 넣어도 되나요? 네, 가능합니다. F분포는 0보다 큰 임의의 실수 자유도에 대해 잘 정의됩니다.
x = 0일 때는 어떻게 되나요? 하측 확률은 0, 상측 확률은 1이 됩니다. 확률밀도는 \(v_1 < 2\)이면 +무한대, \(v_1 = 2\)이면 1, \(v_1 > 2\)이면 0이 됩니다.
상측 누적확률은 어디에 쓰이나요? F검정의 p값으로 사용됩니다. 즉, 귀무가설이 참일 때 F 통계량이 x 이상으로 크게 나올 확률을 의미합니다.
