레비 분포 계산기 (PDF, CDF, 상측 확률)

Lower cumulative probability P(x) = P(X ≤ x)	0.563703
Upper cumulative probability Q(x) = P(X > x)	0.436297

레비 분포란?

레비 분포(Levy distribution)는 음이 아닌 확률변수를 다루는 연속확률분포입니다. 닫힌 형태(closed-form)의 확률밀도함수를 가지는 몇 안 되는 안정 분포(stable distribution) 중 하나이며, 동시에 역감마 분포(inverse-gamma distribution)의 특수한 경우이기도 합니다. 이 분포는 두 개의 모수로 정의됩니다. 하나는 위치 모수 $\mu$로, 분포 전체를 이동시켜 지지집합이 $x = \mu$에서 시작하도록 합니다. 다른 하나는 척도 모수 $c$($c > 0$)로, 분포가 퍼지는 정도를 조절합니다. 오른쪽 꼬리가 매우 두껍기 때문에 레비 분포는 평균과 분산이 정의되지 않습니다(무한대). 그럼에도 각 점에서의 밀도값과 누적확률은 완벽하게 잘 정의됩니다.

0에서 솟아오른 뒤 긴 꼬리를 이루는 오른쪽으로 치우친 레비 확률밀도 곡선 — 레비 분포의 PDF: 오른쪽으로 크게 치우치고 긴 꼬리를 가진 곡선.

계산기 사용 방법

확률변수 $x$, 위치 모수 $\mu$, 그리고 양수인 척도 모수 $c$를 입력하세요. 계산기는 확률밀도 $f(x)$, 하측 누적확률 $P(x) = P(X \le x)$, 상측 누적확률 $Q(x) = P(X > x)$를 돌려줍니다. 표준 레비 분포를 다루려면 $\mu = 0$, $c = 1$을 사용하면 됩니다. 만약 $x$가 $\mu$ 이하라면 변수가 지지집합 밖에 놓이므로 밀도는 0, $P(x) = 0$, $Q(x) = 1$이 됩니다.

공식 설명

$y = x - \mu$로 두겠습니다. $y > 0$일 때 밀도는 다음과 같이 주어집니다.

$$f(x) = \sqrt{\dfrac{c}{2\pi}}\;\frac{e^{-\frac{c}{2y}}}{y^{3/2}}$$

누적분포함수는 상보오차함수(complementary error function)를 사용합니다. 즉

$$P(x) = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{\dfrac{c}{2y}}\right)$$

이고, 상측 꼬리는 단순히

$$Q(x) = 1 - P(x) = \operatorname{erf}\!\left(\sqrt{\dfrac{c}{2y}}\right)$$

입니다. 이 도구는 Abramowitz & Stegun의 유리식 근사 7.1.26을 이용해 erf와 erfc를 계산하며, 소수점 약 일곱 자리까지 정확합니다.

점 x에서 나뉘어 왼쪽 음영 영역 P와 오른쪽 영역 Q를 갖는 밀도 곡선 — 하측 확률 $P(x)$는 왼쪽 음영 영역, 상측 확률 $Q(x)$는 오른쪽 영역.

계산 예시

$\mu = 0$, $c = 1$, $x = 3$이라고 하면 $y = 3$이 됩니다. 인수는 $z = \sqrt{1/6} = 0.408248$입니다. 밀도는 다음과 같습니다.

$$\sqrt{1/(2\pi)} \cdot \frac{e^{-1/6}}{3^{1.5}} = \frac{0.398942 \cdot 0.846482}{5.196152} \approx 0.06499$$

하측 누적확률은 $P(3) = \operatorname{erfc}(0.408248) \approx 0.56373$이고, 상측 누적확률은 $Q(3) = \operatorname{erf}(0.408248) \approx 0.43627$입니다. 예상한 대로 $P + Q = 1$이 성립합니다.