लेवी वितरण क्या है?
लेवी वितरण एक सतत प्रायिकता वितरण है जो किसी अऋणात्मक (non-negative) यादृच्छिक चर पर लागू होता है। यह उन गिने-चुने स्थिर (stable) वितरणों में से एक है जिनका प्रायिकता घनत्व बंद-रूप (closed-form) में लिखा जा सकता है, और यह व्युत्क्रम-गामा (inverse-gamma) वितरण का एक विशेष रूप भी है। इस वितरण को दो प्राचलों से परिभाषित किया जाता है: स्थान प्राचल \(\mu\), जो वितरण को इस तरह खिसकाता है कि इसका आधार (support) \(x = \mu\) से शुरू हो, और स्केल प्राचल \(c > 0\), जो फैलाव को नियंत्रित करता है। अपनी बेहद भारी दाईं पूँछ (heavy right tail) के कारण लेवी वितरण का माध्य (mean) और प्रसरण (variance) अपरिभाषित यानी अनंत होते हैं, फिर भी इसका बिंदु-दर-बिंदु घनत्व और संचयी प्रायिकताएँ पूरी तरह सुपरिभाषित रहती हैं।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
यादृच्छिक चर \(x\) का मान, स्थान प्राचल \(\mu\), और धनात्मक स्केल प्राचल \(c\) दर्ज करें। कैलकुलेटर प्रायिकता घनत्व \(f(x)\), निचली संचयी प्रायिकता \(P(x) = P(X \le x)\), और ऊपरी संचयी प्रायिकता \(Q(x) = P(X > x)\) देता है। मानक लेवी वितरण के लिए \(\mu = 0\) और \(c = 1\) लें। यदि \(x\), \(\mu\) के बराबर या उससे कम है तो चर आधार के बाहर होता है, इसलिए घनत्व \(0\), \(P(x) = 0\) और \(Q(x) = 1\) हो जाता है।
सूत्र की व्याख्या
मान लें \(y = x - \mu\)। \(y > 0\) के लिए घनत्व है $$f(x) = \sqrt{\dfrac{c}{2\pi}}\;\frac{e^{-\frac{c}{2\left(x-\mu\right)}}}{\left(x-\mu\right)^{3/2}}$$ संचयी वितरण पूरक त्रुटि फलन (complementary error function) का उपयोग करता है: $$\begin{gathered} P(X \le x) = \operatorname{erfc}\!\left(z\right) \\[1.5em] \text{where}\quad z = \sqrt{\dfrac{c}{2\left(x-\mu\right)}} \end{gathered}$$ और ऊपरी पूँछ सीधे-सीधे $$\begin{gathered} P(X > x) = \operatorname{erf}\!\left(z\right) \\[1.5em] \text{where}\quad z = \sqrt{\dfrac{c}{2\left(x-\mu\right)}} \end{gathered}$$ होती है। यह टूल \(\operatorname{erf}\) और \(\operatorname{erfc}\) की गणना Abramowitz & Stegun परिमेय सन्निकटन (rational approximation) 7.1.26 से करता है, जो लगभग सात दशमलव स्थानों तक सटीक है।
हल किया गया उदाहरण
मान लें \(\mu = 0\), \(c = 1\), \(x = 3\), अर्थात \(y = 3\)। तर्क (argument) \(z = \sqrt{1/6} = 0.408248\) है। घनत्व $$\sqrt{\dfrac{1}{2\pi}} \cdot \frac{e^{-1/6}}{3^{1.5}} = \frac{0.398942 \cdot 0.846482}{5.196152} \approx 0.06499$$ आता है। निचली संचयी प्रायिकता \(P(3) = \operatorname{erfc}(0.408248) \approx 0.56373\), और ऊपरी संचयी प्रायिकता \(Q(3) = \operatorname{erf}(0.408248) \approx 0.43627\) है। जैसा अपेक्षित है, \(P + Q = 1\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर \(c\) शून्य या ऋणात्मक हो तो क्या होगा? स्केल प्राचल अनिवार्य रूप से धनात्मक होना चाहिए; \(c \le 0\) होने पर कैलकुलेटर त्रुटि (error) दिखाता है।
जब \(x\) का मान \(\mu\) के बराबर हो तो घनत्व 0 क्यों होता है? आधार \(x = \mu\) से शुरू होता है और घनत्व 0 से बढ़ता है, एक ही शिखर (mode) तक पहुँचता है, फिर भारी दाईं पूँछ के साथ धीरे-धीरे घटता है।
क्या लेवी वितरण का कोई माध्य होता है? नहीं। इसका माध्य और प्रसरण दोनों अनंत होते हैं, यही कारण है कि इसका उपयोग चरम विषम मानों (extreme outliers) वाली घटनाओं, जैसे लेवी उड़ानों (Levy flights), को मॉडल करने में किया जाता है।
