什么是列维分布？
列维分布（Levy distribution）是一种针对非负随机变量的连续概率分布。它是少数几个拥有闭式概率密度表达式的稳定分布之一，同时也是逆伽马分布的一个特例。该分布由两个参数刻画：位置参数 \(\mu\) 用于平移分布，使其取值范围从 \(x = \mu\) 开始；尺度参数 \(c > 0\) 则控制分布的离散程度。由于列维分布拥有极重的右尾，它的均值和方差均为无穷大（即未定义），但其逐点的密度值与累积概率却都是完全确定、可以精确计算的。
如何使用本计算器
依次输入随机变量 \(x\)、位置参数 \(\mu\)，以及取正值的尺度参数 \(c\)。计算器会输出概率密度 \(f(x)\)、下侧累积概率 \(P(x) = P(X \le x)\)，以及上侧累积概率 \(Q(x) = P(X > x)\)。若需计算标准列维分布，请将 \(\mu\) 设为 0、\(c\) 设为 1。当 \(x\) 小于或等于 \(\mu\) 时，该取值落在分布的支撑集之外，此时密度为 0、\(P(x) = 0\)、\(Q(x) = 1\)。
公式详解
设 \(y = x - \mu\)。当 \(y > 0\) 时，密度函数为 $$f(x) = \sqrt{\dfrac{c}{2\pi}}\;\frac{e^{-\frac{c}{2\left(x-\mu\right)}}}{\left(x-\mu\right)^{3/2}}$$ 累积分布函数借助互补误差函数表示： $$\begin{gathered} P(X \le x) = \operatorname{erfc}\!\left(z\right) \\[1.5em] \text{where}\quad z = \sqrt{\dfrac{c}{2\left(x-\mu\right)}} \end{gathered}$$ 而上侧尾部概率则为 \(Q(x) = 1 - P(x)\)： $$\begin{gathered} P(X > x) = \operatorname{erf}\!\left(z\right) \\[1.5em] \text{where}\quad z = \sqrt{\dfrac{c}{2\left(x-\mu\right)}} \end{gathered}$$ 本工具采用 Abramowitz & Stegun 手册中的有理逼近公式 7.1.26 来计算 \(\operatorname{erf}\) 与 \(\operatorname{erfc}\)，精度约可达小数点后七位。
计算示例
取 \(\mu = 0\)、\(c = 1\)、\(x = 3\)，于是 \(y = 3\)。先求参数 \(z = \sqrt{1/6} = 0.408248\)。密度为 $$\sqrt{1/(2\pi)} \cdot e^{-1/6} / 3^{1.5} = 0.398942 \cdot 0.846482 / 5.196152 \approx 0.06499$$ 下侧累积概率为 \(P(3) = \operatorname{erfc}(0.408248) \approx 0.56373\)，上侧累积概率为 \(Q(3) = \operatorname{erf}(0.408248) \approx 0.43627\)。正如预期，\(P + Q = 1\)。
常见问题
如果 \(c\) 为零或负数会怎样？ 尺度参数必须严格为正；当 \(c \le 0\) 时，计算器会返回错误提示。
为什么 \(x\) 等于 \(\mu\) 时密度为 0？ 分布的支撑集从 \(x = \mu\) 开始，密度自 0 起逐渐上升，达到唯一的众数后，随着右侧的重尾缓慢衰减。
列维分布有均值吗？ 没有。它的均值和方差都是无穷大，因此常被用来刻画带有极端离群值的现象，例如列维飞行（Levy flights）。
