¿Qué es la distribución de Lévy?
La distribución de Lévy es una distribución de probabilidad continua definida para una variable aleatoria no negativa. Es una de las pocas distribuciones estables que cuenta con una densidad de probabilidad en forma cerrada y, además, constituye un caso particular de la distribución gamma inversa. Se caracteriza por dos parámetros: un parámetro de posición mu, que desplaza la distribución de modo que su soporte comienza en \(x = \mu\), y un parámetro de escala \(c > 0\), que controla la dispersión. Debido a su cola derecha extremadamente pesada, la distribución de Lévy tiene una media y una varianza indefinidas (infinitas); sin embargo, tanto su densidad puntual como sus probabilidades acumuladas están perfectamente definidas.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el valor de la variable aleatoria \(x\), el parámetro de posición \(\mu\) y el parámetro de escala positivo \(c\). La calculadora devuelve la densidad de probabilidad \(f(x)\), la probabilidad acumulada inferior \(P(x) = P(X \le x)\) y la probabilidad acumulada superior \(Q(x) = P(X > x)\). Para la distribución de Lévy estándar, utiliza \(\mu = 0\) y \(c = 1\). Si \(x\) es igual o inferior a \(\mu\), la variable queda fuera del soporte, por lo que la densidad es 0, \(P(x) = 0\) y \(Q(x) = 1\).
La fórmula explicada
Sea \(y = x - \mu\). Para \(y > 0\), la densidad es
$$f(x) = \sqrt{\dfrac{c}{2\pi}}\;\frac{e^{-\frac{c}{2y}}}{y^{3/2}}$$La distribución acumulada se apoya en la función de error complementaria:
$$P(x) = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{\dfrac{c}{2y}}\right)$$y la cola superior es simplemente
$$Q(x) = 1 - P(x) = \operatorname{erf}\!\left(\sqrt{\dfrac{c}{2y}}\right)$$Esta herramienta evalúa erf y erfc mediante la aproximación racional 7.1.26 de Abramowitz y Stegun, con una precisión de unos siete decimales.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(\mu = 0\), \(c = 1\), \(x = 3\), de modo que \(y = 3\). El argumento es
$$z = \sqrt{1/6} = 0{,}408248$$La densidad es
$$\sqrt{1/(2\pi)} \cdot \frac{e^{-1/6}}{3^{1.5}} = \frac{0{,}398942 \cdot 0{,}846482}{5{,}196152} \approx 0{,}06499$$La probabilidad acumulada inferior es \(P(3) = \operatorname{erfc}(0{,}408248) \approx 0{,}56373\), y la superior es \(Q(3) = \operatorname{erf}(0{,}408248) \approx 0{,}43627\). Como era de esperar, \(P + Q = 1\).
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si c es cero o negativo? El parámetro de escala debe ser estrictamente positivo; la calculadora muestra un error cuando \(c \le 0\).
¿Por qué la densidad vale 0 cuando x es igual a mu? El soporte comienza en \(x = \mu\) y la densidad parte de 0, alcanza una única moda y después decae lentamente con una cola derecha pesada.
¿Tiene media la distribución de Lévy? No. Tanto la media como la varianza son infinitas, razón por la cual se emplea para modelar fenómenos con valores atípicos extremos, como los vuelos de Lévy.
