什麼是 Levy 分布？
Levy 分布是一種針對非負隨機變數的連續機率分布。它是少數具有封閉式機率密度函數的穩定分布之一，同時也是反伽瑪分布（inverse-gamma distribution）的一個特例。整個分布由兩個參數決定：位置參數 \(\mu\) 負責平移分布，使其支撐集從 \(x = \mu\) 開始；尺度參數 \(c\)（必須 > 0）則控制分布的離散程度。由於 Levy 分布擁有極重的右尾，它的期望值與變異數都未定義（為無限大）；不過，無論是某一點上的密度值，還是累積機率，都能被精確計算出來。
如何使用本計算器
請依序輸入隨機變數 \(x\)、位置參數 \(\mu\)，以及正的尺度參數 \(c\)。計算器會回傳機率密度 \(f(x)\)、下累積機率 \(P(x) = P(X \le x)\)，以及上累積機率 \(Q(x) = P(X > x)\)。若要使用標準 Levy 分布，請設定 \(\mu = 0\) 與 \(c = 1\)。當 \(x\) 小於或等於 \(\mu\) 時，該值落在支撐集之外，因此密度為 0、\(P(x) = 0\)、\(Q(x) = 1\)。
公式說明
令 \(y = x - \mu\)。當 \(y > 0\) 時，密度函數為 $$f(x) = \sqrt{\frac{c}{2\pi}}\;\frac{e^{-\frac{c}{2y}}}{y^{3/2}}.$$ 累積分布函數則用到互補誤差函數：$$P(x) = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{\frac{c}{2y}}\right),$$ 而上尾機率為 $$Q(x) = 1 - P(x) = \operatorname{erf}\!\left(\sqrt{\frac{c}{2y}}\right).$$ 本工具採用 Abramowitz & Stegun 的有理逼近式 7.1.26 來計算 \(\operatorname{erf}\) 與 \(\operatorname{erfc}\)，精確度約達小數點後七位。
實例演算
取 \(\mu = 0\)、\(c = 1\)、\(x = 3\)，則 \(y = 3\)。引數為 \(z = \sqrt{1/6} = 0.408248\)。密度為 $$\sqrt{\frac{1}{2\pi}}\cdot\frac{e^{-1/6}}{3^{1.5}} = \frac{0.398942 \cdot 0.846482}{5.196152} \approx 0.06499.$$ 下累積機率為 \(P(3) = \operatorname{erfc}(0.408248) \approx 0.56373\)，上累積機率為 \(Q(3) = \operatorname{erf}(0.408248) \approx 0.43627\)。如預期，\(P + Q = 1\)。
常見問題
如果 c 為零或負值會怎樣？尺度參數必須嚴格為正值；當 \(c \le 0\) 時，計算器會回傳錯誤訊息。
為什麼 x 等於 mu 時密度為 0？支撐集從 \(x = \mu\) 開始，密度自 0 起算，先上升至單一眾數（mode），接著沿著極重的右尾緩慢衰減。
Levy 分布有期望值嗎？沒有。它的期望值與變異數都是無限大，因此常被用來建構含有極端離群值的現象模型，例如「Levy 飛行（Levy flights）」。
