レヴィ分布とは
レヴィ分布は、非負の確率変数に対する連続確率分布です。確率密度関数を閉じた式で表せる数少ない安定分布の一つであり、逆ガンマ分布の特殊な場合としても知られています。この分布は2つの母数で定められます。一つは位置母数μで、分布全体を平行移動させ、台（定義域）が \(x = \mu\) から始まるようにします。もう一つは尺度母数 \(c\)（> 0）で、分布の広がりを調整します。レヴィ分布は右側の裾が非常に重いため、平均と分散はいずれも定義されず（発散）ますが、各点での確率密度や累積確率はきちんと定義されます。
この計算機の使い方
確率変数 \(x\)、位置母数 \(\mu\)、そして正の尺度母数 \(c\) を入力してください。計算機は、確率密度 \(f(x)\)、下側累積確率 \(P(x) = P(X \le x)\)、上側累積確率 \(Q(x) = P(X > x)\) を返します。標準レヴィ分布を扱う場合は \(\mu = 0\)、\(c = 1\) とします。\(x\) が \(\mu\) 以下のときは確率変数が台の外側にあるため、密度は 0、\(P(x) = 0\)、\(Q(x) = 1\) となります。
計算式の解説
\(y = x - \mu\) とおきます。\(y > 0\) のとき、確率密度は $$f(x) = \sqrt{\dfrac{c}{2\pi}}\;\frac{e^{-\frac{c}{2y}}}{y^{3/2}}$$ です。累積分布には相補誤差関数を用い、 $$P(x) = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{\dfrac{c}{2y}}\right)$$ 上側の裾は $$Q(x) = 1 - P(x) = \operatorname{erf}\!\left(\sqrt{\dfrac{c}{2y}}\right)$$ となります。本ツールでは \(\operatorname{erf}\) と \(\operatorname{erfc}\) を Abramowitz & Stegun の有理近似式 7.1.26 で評価しており、おおよそ小数点以下7桁の精度があります。
計算例
\(\mu = 0\)、\(c = 1\)、\(x = 3\) とすると、\(y = 3\) です。引数は \(z = \sqrt{1/6} = 0.408248\) となります。密度は $$\sqrt{\frac{1}{2\pi}} \cdot \frac{e^{-1/6}}{3^{1.5}} = 0.398942 \cdot \frac{0.846482}{5.196152} \approx 0.06499$$ です。下側累積確率は \(P(3) = \operatorname{erfc}(0.408248) \approx 0.56373\)、上側累積確率は \(Q(3) = \operatorname{erf}(0.408248) \approx 0.43627\) となり、予想どおり \(P + Q = 1\) が成り立ちます。
よくある質問
c が 0 または負のときはどうなりますか？ 尺度母数は厳密に正でなければなりません。\(c \le 0\) の場合、計算機はエラーを返します。
x が μ と等しいとき、なぜ密度が 0 になるのですか？ 台は \(x = \mu\) から始まり、密度は 0 から立ち上がって単一の最頻値に達した後、重い右裾を引きながらゆっくり減衰していくためです。
レヴィ分布に平均は存在しますか？ いいえ。平均も分散もともに無限大です。そのため、レヴィ・フライトのように極端な外れ値を伴う現象のモデル化に用いられます。
