ما هو توزيع ليفي؟
توزيع ليفي (Lévy) هو توزيع احتمالي متصل لمتغير عشوائي غير سالب. وهو من التوزيعات المستقرة القليلة التي تملك صيغة مغلقة لدالة الكثافة الاحتمالية، كما يُعد حالة خاصة من توزيع جاما العكسي. يوصف التوزيع بمعاملين: معامل الموقع \(\mu\) الذي يزيح التوزيع ليبدأ مجال دعمه عند \(x = \mu\)، ومعامل المقياس \(c > 0\) الذي يتحكم في مدى الانتشار. ونظرًا لذيله الأيمن الثقيل جدًا، فإن المتوسط والتباين في توزيع ليفي غير معرَّفين (لا نهائيين)، ومع ذلك تبقى الكثافة عند كل نقطة والاحتمالات التراكمية محددة تمامًا.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيمة المتغير العشوائي \(x\)، ومعامل الموقع \(\mu\)، ومعامل المقياس الموجب \(c\). تُرجع الحاسبة دالة الكثافة الاحتمالية \(f(x)\)، والاحتمال التراكمي السفلي \(P(x) = P(X \le x)\)، والاحتمال التراكمي العلوي \(Q(x) = P(X > x)\). وللحصول على توزيع ليفي القياسي استخدم \(\mu = 0\) و \(c = 1\). أما إذا كانت \(x\) مساوية لـ \(\mu\) أو أقل منها، فإن المتغير يقع خارج مجال الدعم، وبالتالي تكون الكثافة \(0\)، و \(P(x) = 0\)، و \(Q(x) = 1\).
شرح الصيغة الرياضية
لنفترض أن \(y = x - \mu\). عندما تكون \(y > 0\)، تُعطى الكثافة بالعلاقة $$f(x) = \sqrt{\dfrac{c}{2\pi}}\;\frac{e^{-\frac{c}{2y}}}{y^{3/2}}$$ أما دالة التوزيع التراكمي فتعتمد على دالة الخطأ المتممة: $$P(x) = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{\dfrac{c}{2y}}\right)$$ ويُعطى الذيل العلوي ببساطة بالعلاقة $$Q(x) = 1 - P(x) = \operatorname{erf}\!\left(\sqrt{\dfrac{c}{2y}}\right)$$ تحسب هذه الأداة دالتي \(\operatorname{erf}\) و \(\operatorname{erfc}\) باستخدام التقريب النسبي 7.1.26 من مرجع أبراموفيتز وستيغون (Abramowitz & Stegun)، وهو دقيق حتى نحو سبع منازل عشرية.
مثال محلول
لنأخذ \(\mu = 0\) و \(c = 1\) و \(x = 3\)، أي أن \(y = 3\). يكون المعامل \(z = \sqrt{1/6} = 0.408248\). والكثافة تساوي $$\sqrt{\frac{1}{2\pi}} \cdot \frac{e^{-1/6}}{3^{1.5}} = 0.398942 \cdot \frac{0.846482}{5.196152} \approx 0.06499$$ أما الاحتمال التراكمي السفلي فهو \(P(3) = \operatorname{erfc}(0.408248) \approx 0.56373\)، والاحتمال التراكمي العلوي هو \(Q(3) = \operatorname{erf}(0.408248) \approx 0.43627\). وكما هو متوقع، فإن \(P + Q = 1\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا كانت \(c\) صفرًا أو سالبة؟ يجب أن يكون معامل المقياس موجبًا تمامًا؛ وتُظهر الحاسبة رسالة خطأ عندما تكون \(c \le 0\).
لماذا تكون الكثافة \(0\) عندما تساوي \(x\) القيمة \(\mu\)؟ لأن مجال الدعم يبدأ عند \(x = \mu\)، حيث ترتفع الكثافة من الصفر، فتبلغ منوالًا واحدًا، ثم تتناقص ببطء مع ذيل أيمن ثقيل.
هل لتوزيع ليفي متوسط حسابي؟ لا. فكلٌّ من المتوسط والتباين لا نهائي، ولهذا يُستخدم هذا التوزيع لنمذجة الظواهر ذات القيم المتطرفة الشاذة، مثل رحلات ليفي (Lévy flights).
