Qu'est-ce que la loi de Lévy ?
La loi de Lévy est une loi de probabilité continue définie pour une variable aléatoire positive. C'est l'une des rares lois stables à posséder une densité de probabilité sous forme analytique ; elle constitue également un cas particulier de la loi inverse-gamma. Elle se caractérise par deux paramètres : un paramètre de position mu, qui décale la loi de sorte que son support commence en \(x = \mu\), et un paramètre d'échelle \(c > 0\), qui en règle la dispersion. En raison de sa queue droite très lourde, la loi de Lévy possède une espérance et une variance non définies (infinies) ; pourtant, sa densité ponctuelle et ses probabilités cumulées restent parfaitement bien définies.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la valeur de la variable aléatoire x, le paramètre de position mu et le paramètre d'échelle c, qui doit être positif. Le calculateur renvoie la densité de probabilité \(f(x)\), la probabilité cumulée inférieure \(P(x) = P(X \le x)\) et la probabilité cumulée supérieure \(Q(x) = P(X > x)\). Pour la loi de Lévy standard, utilisez \(\mu = 0\) et \(c = 1\). Si x est inférieur ou égal à mu, la variable se situe hors du support : la densité vaut alors 0, \(P(x) = 0\) et \(Q(x) = 1\).
La formule expliquée
Posons \(y = x - \mu\). Pour \(y > 0\), la densité s'écrit $$f(x) = \sqrt{\dfrac{c}{2\pi}}\;\frac{e^{-\frac{c}{2y}}}{y^{3/2}}.$$ La fonction de répartition fait intervenir la fonction d'erreur complémentaire : $$P(x) = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{\dfrac{c}{2y}}\right),$$ et la queue supérieure vaut simplement $$Q(x) = 1 - P(x) = \operatorname{erf}\!\left(\sqrt{\dfrac{c}{2y}}\right).$$ Cet outil évalue erf et erfc à l'aide de l'approximation rationnelle 7.1.26 d'Abramowitz & Stegun, précise à environ sept décimales.
Exemple détaillé
Prenons \(\mu = 0\), \(c = 1\), \(x = 3\), soit \(y = 3\). L'argument vaut $$z = \sqrt{1/6} = 0{,}408248.$$ La densité est $$\sqrt{\dfrac{1}{2\pi}}\cdot\frac{e^{-1/6}}{3^{1{,}5}} = 0{,}398942 \cdot \frac{0{,}846482}{5{,}196152} \approx 0{,}06499.$$ La probabilité cumulée inférieure est $$P(3) = \operatorname{erfc}(0{,}408248) \approx 0{,}56373,$$ et la probabilité cumulée supérieure est $$Q(3) = \operatorname{erf}(0{,}408248) \approx 0{,}43627.$$ Comme attendu, \(P + Q = 1\).
Foire aux questions
Que se passe-t-il si c est nul ou négatif ? Le paramètre d'échelle doit être strictement positif ; le calculateur renvoie une erreur lorsque \(c \le 0\).
Pourquoi la densité vaut-elle 0 lorsque x est égal à mu ? Le support débute en \(x = \mu\) : la densité part de 0, atteint un unique mode, puis décroît lentement le long d'une queue droite très lourde.
La loi de Lévy possède-t-elle une espérance ? Non. L'espérance comme la variance sont infinies, ce qui explique son emploi pour modéliser des phénomènes à valeurs extrêmes, tels que les vols de Lévy.
