Lévy Dağılımı Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

Rastgele değişken x

Location parameter μ

Scale parameter c (> 0)

Formül

Show calculation steps (2)

1. Lower Cumulative Probability P(X ≤ x)

   

   erfc of z, where z = sqrt(c / (2(x - mu)))

2. Upper Probability P(X > x)

   

   erf of z, where z = sqrt(c / (2(x - mu)))

Sonuç

Olasılık yoğunluğu f(x)

0,06499

yoğunluk (boyutsuz)

Lower cumulative probability P(x) = P(X ≤ x)	0,563703
Upper cumulative probability Q(x) = P(X > x)	0,436297

Lévy dağılımı nedir?

Lévy dağılımı, negatif olmayan bir rastgele değişken için tanımlanan sürekli bir olasılık dağılımıdır. Kapalı biçimli bir olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip olan az sayıdaki kararlı (stable) dağılımdan biridir ve aynı zamanda ters gama dağılımının özel bir hâlidir. Dağılım iki parametreyle tanımlanır: dağılımı kaydırarak tanım aralığının \(x = \mu\) noktasından başlamasını sağlayan bir konum parametresi \(\mu\) ve yayılımı belirleyen pozitif bir ölçek parametresi \(c > 0\). Çok ağır sağ kuyruğu nedeniyle Lévy dağılımının ortalaması ve varyansı tanımsızdır (sonsuzdur); buna rağmen noktasal yoğunluğu ile birikimli olasılıkları kusursuz biçimde tanımlıdır.

Lévy dağılımının OYF'si: uzun kuyruklu, sağa doğru güçlü çarpık bir eğri.

Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?

Rastgele değişken \(x\) değerini, konum parametresi \(\mu\) değerini ve pozitif ölçek parametresi \(c\) değerini girin. Hesaplayıcı; olasılık yoğunluğu \(f(x)\), alt birikimli olasılık \(P(x) = P(X \le x)\) ve üst birikimli olasılık \(Q(x) = P(X > x)\) sonuçlarını döndürür. Standart Lévy dağılımı için \(\mu = 0\) ve \(c = 1\) kullanın. Eğer \(x\) değeri \(\mu\) değerine eşit veya ondan küçükse değişken tanım aralığının dışında kalır; bu durumda yoğunluk 0, \(P(x) = 0\) ve \(Q(x) = 1\) olur.

Formülün açıklaması

\(y = x - \mu\) olsun. \(y > 0\) için yoğunluk şöyledir:

$$f(x) = \sqrt{\dfrac{c}{2\pi}}\;\frac{e^{-\frac{c}{2y}}}{y^{3/2}}$$

Birikimli dağılım, tümleyici hata fonksiyonunu (erfc) kullanır:

$$P(x) = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{\dfrac{c}{2y}}\right)$$

ve üst kuyruk basitçe

$$Q(x) = 1 - P(x) = \operatorname{erf}\!\left(\sqrt{\dfrac{c}{2y}}\right)$$

olur. Bu araç, erf ve erfc fonksiyonlarını Abramowitz & Stegun rasyonel yaklaşımı 7.1.26 ile hesaplar; bu yaklaşım yaklaşık yedi ondalık basamak doğruluğa sahiptir.

Reklam

Alt olasılık \(P(x)\) soldaki taralı alandır; üst olasılık \(Q(x)\) ise sağdaki alandır.

Çözümlü örnek

\(\mu = 0\), \(c = 1\), \(x = 3\) alalım; böylece \(y = 3\) olur. Argüman \(z = \sqrt{1/6} = 0{,}408248\) olur. Yoğunluk

$$\sqrt{\dfrac{1}{2\pi}}\cdot\frac{e^{-1/6}}{3^{1.5}} = 0{,}398942\cdot\frac{0{,}846482}{5{,}196152} \approx 0{,}06499$$

çıkar. Alt birikimli olasılık \(P(3) = \operatorname{erfc}(0{,}408248) \approx 0{,}56373\) ve üst birikimli olasılık \(Q(3) = \operatorname{erf}(0{,}408248) \approx 0{,}43627\) olur. Beklendiği gibi \(P + Q = 1\)'dir.

Sıkça sorulan sorular

c sıfır veya negatifse ne olur? Ölçek parametresi kesinlikle pozitif olmalıdır; \(c \le 0\) için hesaplayıcı bir hata döndürür.

x değeri mu'ya eşit olduğunda yoğunluk neden 0 olur? Tanım aralığı \(x = \mu\) noktasında başlar; yoğunluk 0'dan yükselir, tek bir tepe (mod) noktasına ulaşır, ardından ağır sağ kuyrukla yavaşça azalır.

Lévy dağılımının bir ortalaması var mı? Hayır. Hem ortalama hem de varyans sonsuzdur; bu nedenle Lévy uçuşları (Levy flights) gibi aşırı uç değerler içeren olguları modellemede kullanılır.