Lévy Dağılımı Yüzdelik Hesaplayıcısı nedir?
Lévy dağılımı, konum parametresi mu'dan büyük değerler için tanımlanan, sürekli ve ağır kuyruklu bir olasılık dağılımıdır. İki parametreyle tanımlanır: konum mu (herhangi bir gerçek sayı olabilir) ve ölçek c (pozitif olması gerekir). Bu hesaplayıcı, ters problemi çözer: bir olasılık verildiğinde, yüzdelik (kuantil) x değerini — yani kümülatif dağılım fonksiyonunun o olasılığa eşit olduğu rastgele değişken değerini — döndürür.
Nasıl kullanılır?
0 ile 1 arasında (her iki uç dahil değil) bir olasılık girin. Bu olasılığın alt kümülatif olasılık \(P(x)\) mi yoksa üst kümülatif olasılık \(Q(x) = 1 - P(x)\) mi olduğunu seçin. Ardından konum parametresi mu ile ölçek parametresi c değerini girin (c, 0'dan büyük olmalıdır). Hesaplayıcı size x değerini verir. Üst seçeneği işaretlerseniz, araç önce \(P = 1 - Q\) dönüşümüyle bunu alt olasılığa çevirir.
Formülün açıklaması
Lévy kümülatif dağılım fonksiyonu \(P(x) = \operatorname{erfc}\left(\sqrt{\frac{c}{2(x - \mu)}}\right)\) şeklindedir; burada erfc, tamamlayıcı hata fonksiyonudur. Bunu tersine çevirdiğimizde $$ x = \mu + \frac{c}{2\left[\operatorname{erfc}^{-1}(P)\right]^{2}} $$ elde edilir. Hesaplayıcı, ters hata fonksiyonunu yüksek doğruluklu bir rasyonel yaklaşımla değerlendirir ve Newton iterasyonuyla bu sonucu iyileştirir; böylece harici bir kütüphaneye gerek kalmaz.
Örnek çözüm
olasılık = 0,5 (alt), mu = 0, c = 1 için: \(\operatorname{erfc}^{-1}(0{,}5) = \operatorname{inverseErf}(0{,}5) \approx 0{,}476936\). Karesini aldığımızda \(\approx 0{,}227468\) çıkar; dolayısıyla $$ x = 0 + \frac{1}{2 \times 0{,}227468} \approx 2{,}1981 $$ Bu değer, standart Lévy dağılımının medyanıdır.
Sıkça Sorulan Sorular
Olasılık neden kesinlikle 0 ile 1 arasında olmalı? Olasılık 0'a yaklaştıkça yüzdelik değer sonsuza ıraksar, 1'e yaklaştıkça da mu'ya doğru çöker; bu nedenle uç değerler dışarıda bırakılır.
Üst seçeneği ne anlama geliyor? Girdiğiniz değeri sağ kuyruk olasılığı \(Q(x)\) olarak ele alır; hesaplayıcı içeride \(P = 1 - Q\) kullanır. Bu seçenek, kuyruk riski türündeki sorular için oldukça pratiktir.
Büyük yüzdelik değerleri neden bu kadar yüksek çıkıyor? Lévy dağılımının sağ kuyruğu çok ağırdır (ortalaması sonsuzdur); bu yüzden 90. alt yüzdelik bile medyanın birçok katı olabilir.
