ما هي حاسبة مئين توزيع ليفي؟
توزيع ليفي (Levy) هو توزيع احتمالي متصل ذو ذيل ثقيل، ومُعرَّف عند القيم الأكبر من معامل الموقع \(\mu\). ويوصف بمعاملين اثنين: معامل الموقع \(\mu\) (أي عدد حقيقي)، ومعامل المقياس \(c\) (الذي يجب أن يكون موجبًا). تحلّ هذه الحاسبة المسألة العكسية: فبإعطائها احتمالًا، تُعيد لك المئين (الكميل) \(x\) — أي قيمة المتغير العشوائي التي تساوي عندها دالة التوزيع التراكمي ذلك الاحتمال.
كيفية الاستخدام
أدخل احتمالًا محصورًا تمامًا بين 0 و1. ثم حدّد ما إذا كان هذا الاحتمال احتمالًا تراكميًا سفليًا \(P(x)\) أم احتمالًا تراكميًا علويًا \(Q(x) = 1 - P(x)\). بعد ذلك أدخل معامل الموقع \(\mu\) ومعامل المقياس \(c\) (يجب أن يكون \(c\) أكبر من 0). تُعيد لك الحاسبة قيمة \(x\). وإذا اخترت الخيار العلوي، فإن الأداة تحوّله أولًا إلى الاحتمال السفلي عبر العلاقة \(P = 1 - Q\).
شرح المعادلة
دالة التوزيع التراكمي لتوزيع ليفي هي $$P(x) = \operatorname{erfc}\left(\sqrt{\frac{c}{2(x - \mu)}}\right)$$ حيث \(\operatorname{erfc}\) هي دالة الخطأ المتممة. وبعكسها نحصل على $$x = \mu + \frac{c}{2\left[\operatorname{erfc}^{-1}(P)\right]^{2}}$$ تحسب الحاسبة معكوس دالة الخطأ باستخدام تقريب كسري عالي الدقة يُصقَل عبر تكرار نيوتن، فلا حاجة إلى أي مكتبة خارجية.
مثال محلول
عند احتمال = 0.5 (سفلي)، \(\mu = 0\)، \(c = 1\): يكون \(\operatorname{erfc}^{-1}(0.5) = \operatorname{inverseErf}(0.5) \approx 0.476936\). وبتربيعها نحصل على \(\approx 0.227468\)، فيكون $$x = 0 + \frac{1}{2 \times 0.227468} \approx 2.1981$$ وهذه هي الوسيط (median) لتوزيع ليفي القياسي.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون الاحتمال محصورًا تمامًا بين 0 و1؟ عندما يقترب الاحتمال \(p\) من الصفر يتباعد المئين إلى ما لا نهاية، وعندما يقترب من 1 ينهار إلى قيمة \(\mu\)، ولذلك تُستبعد القيمتان الطرفيتان.
ماذا يعني الخيار العلوي؟ يعامل القيمة التي تدخلها على أنها احتمال الذيل الأيمن \(Q(x)\)؛ وتستخدم الحاسبة داخليًا العلاقة \(P = 1 - Q\). وهذا مفيد للأسئلة المتعلقة بمخاطر الذيل (tail risk).
لماذا تكون المئينات الكبيرة ضخمة إلى هذا الحد؟ لأن لتوزيع ليفي ذيلًا أيمن ثقيلًا جدًا (متوسطه لا نهائي)، حتى إن المئين السفلي التسعين قد يبلغ أضعاف الوسيط بمرات عديدة.
