Máy tính phân vị phân phối Levy là gì?
Phân phối Levy là một phân phối xác suất liên tục có đuôi nặng, được xác định cho các giá trị lớn hơn tham số vị trí mu. Phân phối này được mô tả bằng hai tham số: vị trí mu (một số thực bất kỳ) và tỷ lệ c (phải là số dương). Công cụ này giải bài toán ngược: cho trước một xác suất, nó trả về phân vị (quantile) x — giá trị của biến ngẫu nhiên tại đó hàm phân phối tích lũy bằng đúng xác suất đó.
Cách sử dụng
Nhập một xác suất nằm hoàn toàn trong khoảng từ 0 đến 1. Chọn xem đó là xác suất tích lũy dưới P(x) hay xác suất tích lũy trên \(Q(x) = 1 - P(x)\). Sau đó nhập tham số vị trí mu và tham số tỷ lệ c (c phải lớn hơn 0). Công cụ sẽ trả về giá trị x. Nếu bạn chọn tùy chọn xác suất trên, công cụ sẽ tự động chuyển sang xác suất dưới bằng công thức \(P = 1 - Q\).
Giải thích công thức
Hàm phân phối tích lũy của Levy là \(P(x) = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{\dfrac{c}{2(x - \mu)}}\right)\), trong đó erfc là hàm sai số bù. Khi nghịch đảo công thức này ta được
$$x = \mu + \frac{c}{2\left[\operatorname{erfc}^{-1}(P)\right]^{2}}$$Công cụ tính hàm sai số nghịch đảo bằng một phép xấp xỉ phân thức có độ chính xác cao, được tinh chỉnh thêm qua phương pháp lặp Newton, nên không cần đến bất kỳ thư viện bên ngoài nào.
Ví dụ minh họa
Với xác suất = 0,5 (dưới), mu = 0, c = 1: \(\operatorname{erfc}^{-1}(0{,}5) = \operatorname{inverseErf}(0{,}5) \approx 0{,}476936\). Bình phương giá trị này được \(\approx 0{,}227468\), do đó
$$x = 0 + \frac{1}{2 \times 0{,}227468} \approx 2{,}1981$$Đây chính là trung vị của phân phối Levy chuẩn.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao xác suất phải nằm hoàn toàn trong khoảng (0, 1)? Khi p tiến về 0, phân vị tiến ra vô cực, còn khi p tiến về 1 thì phân vị thu về đúng giá trị mu, vì vậy hai điểm đầu mút bị loại trừ.
Tùy chọn xác suất trên nghĩa là gì? Nó coi giá trị bạn nhập là xác suất đuôi phải Q(x); bên trong công cụ sẽ dùng \(P = 1 - Q\). Điều này rất tiện cho các bài toán dạng rủi ro đuôi (tail-risk).
Tại sao các phân vị lớn lại có giá trị khổng lồ? Phân phối Levy có đuôi phải rất nặng (kỳ vọng của nó là vô hạn), nên ngay cả phân vị dưới thứ 90 cũng có thể lớn gấp nhiều lần trung vị.
