Công cụ này làm gì
Công cụ này tính phân vị (còn gọi là quantile hay điểm phần trăm) của phân phối Cauchy, hay còn được biết đến với tên phân phối Lorentz. Khi bạn nhập một xác suất tích lũy cùng hai tham số của phân phối — vị trí x0 (trung vị và đỉnh của phân phối) và tỷ lệ γ (gamma, tức nửa độ rộng tại nửa cực đại) — công cụ sẽ trả về giá trị x tương ứng với xác suất đó. Đây là toán học thuần túy nên kết quả giống nhau ở mọi nơi.
Cách sử dụng
Trước tiên hãy chọn chế độ tích lũy. Chọn Lower (bên trái) nếu xác suất P của bạn là xác suất đuôi trái, \(P = \text{Prob}(X \le x)\). Chọn Upper (bên phải) nếu xác suất Q của bạn là xác suất đuôi phải, \(Q = \text{Prob}(X \ge x)\). Tiếp theo, nhập xác suất dưới dạng phân số nằm hẳn trong khoảng từ 0 đến 1 (ví dụ 0,95 cho phân vị thứ 95), tham số vị trí x0 và tham số tỷ lệ γ (phải là số dương). Công cụ sẽ trả về giá trị x tương ứng.
Giải thích công thức
Hàm phân phối tích lũy của phân phối Cauchy là $$F(x) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{\pi}\cdot\arctan\!\left(\frac{x - \text{x}_0}{\gamma}\right).$$ Khi nghịch đảo hàm này, ta thu được hàm phân vị $$x = \text{x}_0 + \gamma \cdot \tan\!\left(\pi\left(\text{P} - \tfrac{1}{2}\right)\right),$$ trong đó P là xác suất tích lũy bên trái. Nếu bạn nhập xác suất bên phải Q, công cụ sẽ tự chuyển đổi bằng công thức \(P = 1 - Q\). Tại \(P = 0{,}5\), kết quả đúng bằng x0; còn khi P tiến dần về 0 hoặc 1, kết quả phân kỳ về âm hoặc dương vô cực, phản ánh đặc trưng đuôi nặng nổi tiếng của phân phối Cauchy (phân phối này không có kỳ vọng hay phương sai hữu hạn).
Ví dụ minh họa
Với phân vị thứ 95 bên trái, \(\text{x}_0 = 0\) và \(\gamma = 1\): ta có \(P = 0{,}95\), nên $$x = 0 + 1\cdot\tan(\pi\cdot 0{,}45) = \tan(1{,}41372\ \text{rad}) \approx \mathbf{6{,}31375}.$$ Kiểm tra lại: $$F(6{,}31375) = 0{,}5 + \tfrac{1}{\pi}\cdot\arctan(6{,}31375) = 0{,}5 + 0{,}45 = 0{,}95.$$ Với \(\text{x}_0 = 2\), \(\gamma = 3\) và \(P = 0{,}75\): $$x = 2 + 3\cdot\tan(\pi\cdot 0{,}25) = 2 + 3\cdot 1 = 5{,}0.$$
Câu hỏi thường gặp
Chế độ bên trái và bên phải khác nhau thế nào? Hai chế độ này bù trừ cho nhau: xác suất bên phải bằng 0,05 cho ra cùng giá trị x với xác suất bên trái bằng 0,95.
Tại sao xác suất phải nằm hẳn trong khoảng từ 0 đến 1? Tại đúng giá trị 0 hoặc 1, phân vị sẽ là âm hoặc dương vô cực, không có giá trị số hữu hạn.
Tham số tỷ lệ có thể âm không? Không. Tỷ lệ γ phải lớn hơn 0; nó biểu thị nửa độ rộng, nên giá trị âm là không xác định.
